<h1 style="text-align: center;"><b>我談?wù)憬贪娼滩?lt;/b></h1><h5 style="text-align: center;"><b style="color: rgb(22, 126, 251);">浙江省樂清市北白象鎮(zhèn)中學(xué)（325603）</b></h5><h5 style="text-align: center;"><b style="color: rgb(22, 126, 251);">孫建克（QQ：986233556）</b></h5><h3>浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第三章《圓的基本性質(zhì)》3.5圓周角（2）第91頁用加粗黑體字是這樣敘述圓周角定理推論2的內(nèi)容："在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。"前幾天剛好教到這里，三年一循環(huán)，在課堂上我斗膽又一次把這個(gè)教材中的圓周角定理推論2揶揄了一番，再一次當(dāng)成"反面教材"給學(xué)生講解！不過這一次跟前幾屆相比講的更加有底氣更有說服力！為何？聽我慢慢道來。</h3><h3><br /></h3> <p>大家都知道，命題有真假之分，初中數(shù)學(xué)真命題包括公理（基本事實(shí)）、定理及定理的推論等。任何命題都由題設(shè)（已知條件）和結(jié)論兩部分組成，并且都可以改寫成"如果······，那么······。"的形式。把原命題的題設(shè)和結(jié)論互換就得到它的逆命題，真（或假）命題的逆命題未必是真（或假）命題，因此作為真命題的定理未必有逆定理，除非其逆命題為真命題。</p><p>數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維的科學(xué)，對(duì)其本身而言就有嚴(yán)密性的要求，比如一個(gè)命題條件的變化，都會(huì)導(dǎo)致命題真假性或嚴(yán)密性受到影響！命題的真假性判斷容易，非真即假，非假即真。嚴(yán)密性是特別針對(duì)真命題來講的，一個(gè)真命題就要做到嚴(yán)密性！那何為嚴(yán)密性？按我對(duì)學(xué)生的通俗講法，嚴(yán)密性就是真命題的條件要做到剛剛好，不多不少，不過寬不過窄。條件不加限制就是過寬，過寬的條件必然會(huì)導(dǎo)致假命題的產(chǎn)生；條件無謂限制就是過窄，過窄的條件未必會(huì)導(dǎo)致真命題真假性的改變，但必然會(huì)影響真命題的嚴(yán)密性！圖形鑲嵌就是做到了各板塊之間沒空隙（不過寬），沒重疊（不過窄）才叫真正鑲嵌，同樣定理（推論）只有做到條件不過寬不過窄才叫數(shù)學(xué)定理！</p> <h3>下面舉幾個(gè)命題讓大家體驗(yàn)一下條件過寬或過窄對(duì)命題真假性和嚴(yán)密性的影響。</h3><h3>命題1:三點(diǎn)確定一個(gè)圓。</h3><h3>命題2:平分弦的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧。</h3><h3>命題3:同一條弦所對(duì)的圓周角相等。</h3><h3>命題4:垂直于同一條直線的兩直線平行。</h3><h3>命題5:在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩直線平行。</h3><h3>命題6:在同一平面內(nèi)，三角形的內(nèi)角和等于180度。</h3><h3>很顯然命題1-4都是由于條件過寬，沒有加以必要的限制導(dǎo)致全是假命題。要使它們成為真命題，只要依次加上限制條件即可，分別為：1、不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧。3、同一條弦在同一側(cè)所對(duì)的圓周角相等。4、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行。至于命題5和6就是由于條件過窄（無謂限制在同一平面內(nèi)），盡管還是真命題，但真命題的嚴(yán)密性出問題了，因?yàn)槿サ粝拗茥l件"在同一平面內(nèi)"，命題仍然成立！故而這樣的真命題，加上限制條件就是畫蛇添足，多此一舉！在數(shù)學(xué)的角度看就是缺乏"嚴(yán)密性"。</h3><h3><br /></h3> <h3>浙教版教材對(duì)數(shù)學(xué)定理（推論）的描述的"真假性"當(dāng)然不會(huì)出現(xiàn)這么低級(jí)的錯(cuò)誤問題，因?yàn)橛锌茖W(xué)性做保障，描述的"嚴(yán)密性"也做得可圈可點(diǎn)，舉兩個(gè)例子就能說明我說的"兩性"特別是"嚴(yán)密性"，作為教材的編寫者是有考究的。1、原定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等。逆定理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。2、原定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。</h3><h3><br /></h3> <p>第1個(gè)例子中講的是線段中垂線性質(zhì)定理及其逆定理，只要互換彼此的條件和結(jié)論就能得到彼此的逆定理，非常簡(jiǎn)單。而第2個(gè)例子講的是角平分線性質(zhì)定理及其逆定理就稍難點(diǎn)了，因?yàn)榻堑钠椒志€是射線，而到角的兩邊距離相等的點(diǎn)除了在這個(gè)角的角平分線上外，這條角平分線的反向延長(zhǎng)線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離也相等，當(dāng)然這個(gè)角的鄰補(bǔ)角的角平分線所在的直線上的點(diǎn)也滿足要求，因此要得到原定理的逆定理，從描述數(shù)學(xué)定理的嚴(yán)密性角度看，如果以"這些點(diǎn)在角平分線上"為結(jié)論（跟原定理的條件對(duì)應(yīng)），那么原定理的結(jié)論"點(diǎn)到角的兩邊距離相等"（跟逆定理的條件對(duì)應(yīng)）對(duì)于逆定理來說就會(huì)出現(xiàn)條件過寬的問題，教材在原定理（"角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等"）的逆命題（"到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上"）的前面加上"在角的內(nèi)部"自有它的道理了！我想編者就是出于考慮"嚴(yán)密性"的問題。</p> <p>有了前面的長(zhǎng)篇鋪墊，如果大家都達(dá)成共識(shí)的話，那么下面進(jìn)入主題的內(nèi)容就不難理解了。眾所周知，同弧意味著在同圓中，等弧也意味著在同圓或等圓中，總之不管是同弧還是等弧都意味著在同圓或等圓中了，如果在"同弧或等弧"前面再加上"同圓或等圓"這個(gè)由自己原本就可以推導(dǎo)出來的結(jié)論當(dāng)前提，從數(shù)學(xué)"嚴(yán)密性"角度來講，雖然沒有出現(xiàn)前面所講的條件"過寬過窄"問題，但出現(xiàn)了條件"重復(fù)"問題，也可以把它歸為廣義上的"過寬過窄"問題。講的再嚴(yán)重一點(diǎn)，不單單是條件“重復(fù)冗余”問題，更甚的是混亂了邏輯“因果律”。因此"同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等"根本不需要條件"在同圓或等圓中"！而恰恰相反，這個(gè)定理（為了敘述方便姑且把這個(gè)真命題叫定理）的逆命題"相等的圓周角所對(duì)的弧相等"要使它成為該定理的逆定理，必須要加上"在同圓或等圓中"這個(gè)限制條件。</p><p><br></p> <h3>現(xiàn)在看浙教版數(shù)學(xué)教材九上第91頁的原話："在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。"大家發(fā)現(xiàn)沒有就是出現(xiàn)了上面的問題！也許有人說看見分號(hào)沒有，"在同圓或等圓中"就是下面兩個(gè)結(jié)論的大前提，沒錯(cuò)，拋開條件"重復(fù)"這個(gè)問題不說，如果教師不仔細(xì)深究，我們的學(xué)生有這么仔細(xì)嗎？根據(jù)本人教了七屆畢業(yè)班的經(jīng)歷，前幾屆講到這里都要反復(fù)解釋，想維護(hù)教材的權(quán)威性，自圓其說！后幾屆我就不維護(hù)了，干脆拿教材當(dāng)"反面教材"，真是無心插柳柳成蔭，有趣的是學(xué)生反而在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上掌握的很好。同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生不唯書，不迷信書的批判思想。</h3> <h3>不過出于對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的"嚴(yán)密性"和全省教材的"權(quán)威性"考慮，與其像我這樣"自圓其說"或當(dāng)"反面教材"，不如干脆"修改教材"！修改非常簡(jiǎn)單，只要把兩個(gè)結(jié)論做下調(diào)換，去掉"也"字，把分號(hào)改成句號(hào)即可。就是："在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。"共兩句話互為逆命題組成圓周角定理推論2。這樣就跟前面的也互為逆命題的兩句話（半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。）組成的圓周角定理推論1并列組成圓周角定理的兩個(gè)推論。</h3><h3><br /></h3> <p>2015年6月22日至7月3日，去杭州師范大學(xué)參加了2015年中小學(xué)（幼兒園）教師省級(jí)培訓(xùn)與編寫者對(duì)話：初中數(shù)學(xué)浙教版教材解讀與教學(xué)研究專題集中培訓(xùn)。在培訓(xùn)期間我作了題為《注重細(xì)節(jié)，且教且反思》的公開講座，以上的內(nèi)容就是講座兩個(gè)部分中的一部分，名為《我談?wù)憬贪娼滩摹呀滩漠?dāng)"反面教材"》，并且私下與浙教版數(shù)學(xué)編委王亞權(quán)老師交流，得到他的肯定和贊許，培訓(xùn)結(jié)業(yè)后獲得了"優(yōu)秀學(xué)員"的稱號(hào)。</p> <h3>現(xiàn)在我教的學(xué)生是在2015年9月份招入的，也就是在我參加90學(xué)時(shí)省級(jí)培訓(xùn)后招入的學(xué)生，這屆學(xué)生有幸成為我的疑惑得到肯定后的第一批見證者。這個(gè)疑惑就是本文提到的我對(duì)浙教版圓周角定理推論2編寫的斗膽懷疑和改進(jìn)，在杭州培訓(xùn)期間提出后得到與會(huì)同仁老師們的肯定和好評(píng)，還有專家的首肯。這也就是篇首我講的更有底氣和更有說服力的原由。希望像王亞權(quán)老師說的那樣，在以后改版時(shí)能看到教材內(nèi)容的改進(jìn)。</h3><h3> </h3><h3> 2017年10月7日</h3><h3><br /></h3><h3><br /></h3><h3>（以上圖片就是2015年參加省級(jí)培訓(xùn)時(shí)我作的講座《注重細(xì)節(jié)，且教且反思》的一部分PPT，文章內(nèi)容由當(dāng)時(shí)講座內(nèi)容整理而來，時(shí)間過去超兩年了，這次由于又教到圓周角定理推論2有感而發(fā)，趁這個(gè)國慶中秋假期憑零星的記憶和當(dāng)時(shí)留存的PPT按數(shù)學(xué)邏輯推演而成。2017年10月8日本文被《簡(jiǎn)書》"想法"專欄和"溫州"專欄同時(shí)收錄。）</h3>