2025年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試
數(shù)學(xué) 試卷 2025年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)參考答案 <p class="ql-block">一、選擇題：</p><p class="ql-block">1.A，2.B，3.D，4.D，5.C，6.B</p><p class="ql-block">二、填空題：</p><p class="ql-block">7、 ab(a+b) 8、x>2 9、m>1/8，</p><p class="ql-block">10、y＝1/x 11、x=10 12、y=3x2-2</p><p class="ql-block">13、1/2 14、12 15、1800，</p><p class="ql-block">16、2.5x10? 17、2√3/3 18、36或108</p><p class="ql-block">三、解答題</p><p class="ql-block">19、5</p><p class="ql-block">20、x=5</p><p class="ql-block">21、(1)y=40x+80(0≤x≤3) ；(2)32°C</p><p class="ql-block">22、(1)3a；(2)證明略</p><p class="ql-block">23、證明略</p><p class="ql-block">24、(1)b=-4，C=4</p><p class="ql-block">(2)①3； ②3/5或√17/17</p><p class="ql-block">25、(1)證明略，②2/15，</p><p class="ql-block">(2)2＋5√3/3.</p> 壓軸題的詳細解答 <p class="ql-block">6．在銳角三角形ABC中，AB=AC,BC=8，它的外接圓O的半徑長為5，若點D是邊AC的中點，以點D為圓心的圓和⊙O相交，那么⊙D的半徑長可以是（▲).</p><p class="ql-block">(A)2 (B)5 (C)8 (D)9.</p> <p class="ql-block">解：如圖，作AH⊥BC于H，</p> <p class="ql-block">∵AB=AC∴BH=CH=4，</p><p class="ql-block">∴AH垂直平分BC，∴外心O在AH上，</p><p class="ql-block">∴在Rt△BOH中，OH=√(OC2-HC2)=3，</p><p class="ql-block">∴AH=8，∴在Rt△AHC 中，</p><p class="ql-block"> AC=√(AH2+OC2)=4√5，</p><p class="ql-block">∵D為AC的中點，∴CD=2√5,</p><p class="ql-block">∵OA=OC=5，D為AC的中點，</p><p class="ql-block">∴OD⊥AC，∴OD=√(OC2-CD2)=√5</p><p class="ql-block">設(shè)圓D的半徑為r，</p><p class="ql-block">∵⊙O與⊙D相交，∴|R-r|<OD<R+r，</p><p class="ql-block">即|5-r|<√5<5+r(★)</p><p class="ql-block">用代入法：r=2，不滿足<span style="font-size:18px;">(★)</span>，</p><p class="ql-block">r=5滿足<span style="font-size:18px;">(★)，由于單選，</span>∴選B.</p><p class="ql-block">說明：也可以去解不等式|5-r|<√5<5+r，</p><p class="ql-block">得<span style="font-size:18px;">5-√5<r<5+√5去判斷(√5≈2.236).</span></p> <p class="ql-block">13.小明手中有1、2、3、4四張牌，小軍手中有2、4、6、8四張牌，若小明從小軍手中抽一張牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的數(shù)字相等的概率為＿＿＿＿</p><p class="ql-block">解：小明從小軍手中抽牌，小軍手中有2、4、6、8共4張牌。小明原有的牌數(shù)字是1、2、3、4，其中與小軍手中牌數(shù)字相等的是2和4，共2個數(shù)字。所以抽到數(shù)字相等牌的概率為相等數(shù)字的數(shù)量除以總牌數(shù)，即：概率 = 2÷4 = 1/2</p> <p class="ql-block">17. 已知矩形ABCD中，點E在邊CD上，F(xiàn)是點E 關(guān)于直線AD的對稱點，聯(lián)結(jié)EF、AF、BE，若四邊形ABEF是菱形，那么AB/AD的值為＿＿＿＿＿_</p> <p class="ql-block">解：由題意可知：得AD垂直平分EF，</p><p class="ql-block">∴FD=ED=a，∵ABEF是菱形，</p><p class="ql-block">∴AB=BE=EF=2a，∵ABCD矩形，</p><p class="ql-block">∴DC=AB=2a，∴EC=a，</p><p class="ql-block">∴在Rt△BEC中，BC=√3a，</p><p class="ql-block">∴AB/AD＝2a/√3a＝2√3/3</p> <p class="ql-block">18．已知平面內(nèi)有一個角，一個圓與這個角的兩邊都有兩個交點，若此圓在角的邊上截得的兩條線恰好是某正五邊形的一邊，那么這個角的度數(shù)為＿＿＿＿度．</p> <p class="ql-block">解：由題意可知(如上圖)，有兩解36°和108°</p> <p class="ql-block">22.分割梯形組成等腰三角形．</p> <p class="ql-block">(1）如圖5，直角梯形ABCD中，點E是AB中點，D是梯形的頂點，將△ADE繞E旋轉(zhuǎn)180°得到△BFE，若AD=a，DF=DC，求BC的長；</p><p class="ql-block">(2）如圖6，等腰梯形 MNPQ，請再設(shè)計一種方法，用一條直線或兩條直線分割梯形為若干部分，再進行一系列的圖形運動，不重疊，不間隙地拼成一個等腰三角形，并寫出這一或兩條直線的頂點．(模仿1中的表述：點E是AB中點，D是梯形的頂點）</p> <p class="ql-block">解：(1)如下圖：</p><p class="ql-block">由題意△AED≌△BEF，</p><p class="ql-block">∴AD=BF=a，F(xiàn)、B、C共線，</p><p class="ql-block">作DG⊥BC，可知ABGD是矩形，</p><p class="ql-block">∴AD=BG=a，∴FG=2a，</p><p class="ql-block">∵DF=CD，DG⊥BC，∴CG=FG=2a，</p><p class="ql-block">∴BC=3a.</p> <p class="ql-block">(2)如下圖：</p><p class="ql-block">1°一條直線：聯(lián)結(jié)QN，將△MNQ運動到△PNR處，由等腰梯形，可知Q、P、R共線線．△NQR即為所求．</p><p class="ql-block">2°兩條直線：</p><p class="ql-block">T取PR中點U，PN中點W，MQ中點V.</p><p class="ql-block">將△QUQ運動到△SMV處，△PUW運動引△TNW處，△UST即為所求．</p> <p class="ql-block">23.如圖7, 圓O中, 弦AB和CD, 且CE=DF</p> <p class="ql-block">(1）求證：AB∥CD;</p><p class="ql-block">(2）若弧AB=弧BD，求證：AB2=OF×OB</p> <p class="ql-block">解：(1)作OG⊥CD于G，</p> <p class="ql-block">由垂徑定理，得CG=DG.</p><p class="ql-block">∵CE=DF，∴EG=FG ，<span style="font-size:18px;">又OG⊥EF，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;">∴</span>OE=OF，∵OA=OB，</p><p class="ql-block">∴OE/OA=OF/OB，∴CD//AB</p> <p class="ql-block">(2)在圓O中，聯(lián)結(jié)BD，</p><p class="ql-block">∵弧AB=弧BD，∴AB=BD，</p> <p class="ql-block">聯(lián)結(jié)OD，則OA=OB=OD，</p><p class="ql-block">∴等腰△OAD≌等腰△OBD(SSS)，</p><p class="ql-block">∴∠OAB=∠OBA=∠BFD=∠ODB，</p><p class="ql-block">∵CD∥AB，∴∠BFD=∠OBA=∠ODB, </p><p class="ql-block">∵ ∠FBD=∠DBO，∴△FBD∽△DBO，</p><p class="ql-block">∴BD2=BF·OB ，∴AB2=BF·OB.</p> <p class="ql-block">24. 如圖8，拋物線y=x2+bx+c過A(1,1)、</p><p class="ql-block">B(3,1)，頂點P，y軸交點C.</p> <p class="ql-block">(1）求b和c的值．</p><p class="ql-block">(2）拋物線y=ax2+mx+n(a≠1）經(jīng)過A(1,1)B(3,1)，頂點Q，y軸交點D.</p><p class="ql-block">①求CD/PQ；</p><p class="ql-block">②若四邊形CDPQ是梯形，求其最小內(nèi)角的正弦．</p> <p class="ql-block">解：(1)易得b=-4，c=4</p><p class="ql-block">(2)①∵拋物線y=ax2+mx+n(a≠1)經(jīng)過</p><p class="ql-block">A(1,1)，B(3,1)，</p><p class="ql-block">∴可設(shè)y=a(x-1)(x-3)+1(a≠1)</p><p class="ql-block">∵D(0,3a+1), Q(2,-a+1), C(0,4), P(2,0)，</p><p class="ql-block">1°當a>1時，3a+1>4，-a+1<0.</p><p class="ql-block">∴CD/PQ=(3a+1-4)/[0-(-a+1)]</p><p class="ql-block">=3(a-1)/(a-1)=3；</p><p class="ql-block">2°當a<1時，3a+1<4，-a+1>0</p><p class="ql-block">同樣CD/PQ=3；∴CD/PQ=3.</p> <p class="ql-block">②四邊形CDPQ是直角梯形．</p> <p class="ql-block">1°當∠COP=90°時，</p> <p class="ql-block">∴Q(2,4)，a=-3,</p><p class="ql-block">∴D(0,-8),∵OD=8，OP=2，∴DP=2√17, </p><p class="ql-block">∴sin∠ODP=1/√17=√17/17</p> <p class="ql-block">2°當∠DPQ=90°時，</p> <p class="ql-block">D(0,0)，a=-1/3，</p><p class="ql-block">Q(2,4/3),，由兩點距離公式得CQ=10/3，</p><p class="ql-block">作QH⊥CD于H，</p><p class="ql-block">∴sin∠QCD＝2/(10/3)＝3/5，</p><p class="ql-block">綜上所述，</p><p class="ql-block">最小角的正弦值為√17/17或3/5.</p> <p class="ql-block">25.如圖9，平行四邊形ABCD.(1）若E是BC中點；①若AE=EF，求證∠BAE=∠EFC;</p><p class="ql-block">②若CF=DF，聯(lián)結(jié)BF交AE于G，求△BEG面積與△AEF面積的比值；.</p> <p class="ql-block">(2)如圖10，如果AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF</p> <p class="ql-block">解：(1)①延長AE交DC的延長線于點I．</p> <p class="ql-block">∵BE=CE，AB∥CD，</p><p class="ql-block">∴AE=EI=EF，∴∠EIF=∠EFI，</p><p class="ql-block">∵AB//CD，∴∠BAE=∠EIF，</p><p class="ql-block"> ∴∠BAE=∠CFE.</p> <p class="ql-block">②．過點F作FJ∥BC，交AE于點J.</p> <p class="ql-block">可知AECD是梯形，F(xiàn)J是中位線．</p><p class="ql-block">設(shè)BE=CE=2a，AD=4a，∴JF=3a.</p><p class="ql-block">∵JF∥BE，JF/BE=3/2，</p><p class="ql-block">∴△GEF面積與△GEF的面積比</p><p class="ql-block">=BG/GF=BE/JF=2/3，</p><p class="ql-block">∵JF∥BE，∴△GJF～△GEB,</p><p class="ql-block">∴△GJF面積與△GEB的面積比=4:9</p><p class="ql-block">△GJF面積=9s，△GEB面積=4s，</p><p class="ql-block">△GEF面積=6s，</p><p class="ql-block">∴△JEF的面積=15s, △AJF的面積=30s,</p><p class="ql-block">∴△GEB面積與△AJF的面積為2/15.</p> <p class="ql-block">(2)延長AF、BC文于點H.</p> <p class="ql-block">∠1+∠AEF+∠4=180°，</p><p class="ql-block">∠2+∠AEF+∠5=180°，</p><p class="ql-block">∠1=∠2=∠3，∴∠4=∠5,</p><p class="ql-block">∴易證△EHF～△AHE,△ECF∽△AEF,</p><p class="ql-block">由FC∥AB，可得CH=5/2，</p><p class="ql-block">可設(shè)AF=x，F(xiàn)H=x/2，∴AH=3x/2，</p><p class="ql-block">由△EHF～△AHE,</p><p class="ql-block">得EH2=PH·AH=3x2/4，EH=x√3/2,</p><p class="ql-block">∴EC=x√3/2-5/2，</p><p class="ql-block">∵△ECF～△AEF，</p><p class="ql-block">∴CF/EF=CE/AE，即CF/CE=EF/AE，</p><p class="ql-block">EF/AE＝FH/EH＝1/√3，</p><p class="ql-block">∴1/√3=1/(x√3/2-5/2)，</p><p class="ql-block">∴x= (6+5√3)/3=AF，</p><p class="ql-block">即AF =(6+5√3)/3</p>