漫談一個(gè)拋動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的最值之（二）兩動(dòng)態(tài)線篇（209）微風(fēng) <p class="ql-block"><span style="font-size: 22px; color: rgb(237, 35, 8);">題型四：一個(gè)拋動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的兩動(dòng)態(tài)線和差最值</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 解數(shù)學(xué)題，情景認(rèn)識(shí)正，才能解析意境通，意境通，才能解法明。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 大多數(shù)解題能力差的人，多是沒(méi)能建構(gòu)起關(guān)于數(shù)學(xué)情景的良好深層知識(shí)系統(tǒng)，因此，缺少了情景正的知識(shí)，才在解題時(shí)意境混亂難以通。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 以拋物線為載體的動(dòng)態(tài)線最值問(wèn)題，有兩大類情景。一類是</span><span style="font-size: 20px; color: rgb(237, 35, 8);">一個(gè)拋動(dòng)點(diǎn)</span><span style="font-size: 20px; color: rgb(1, 1, 1);">引出一個(gè)或兩個(gè)線動(dòng)點(diǎn)，生成一條或</span><span style="font-size: 20px;">兩條動(dòng)態(tài)線的函數(shù)最值情景。另一類是</span><span style="font-size: 20px; color: rgb(22, 126, 251);">一個(gè)拋定點(diǎn)聯(lián)手另一個(gè)定點(diǎn)，</span><span style="font-size: 20px;">牽引兩條或多條動(dòng)態(tài)線的幾何最值情景.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 為建構(gòu)求一個(gè)拋動(dòng)點(diǎn)引發(fā)兩動(dòng)態(tài)線和差最值的深層知識(shí)系統(tǒng)，先認(rèn)識(shí)理解此類二次函數(shù)包裝兩動(dòng)態(tài)線和差最值的幾個(gè)情景和對(duì)應(yīng)的解析意境。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size: 20px; color: rgb(237, 35, 8);">對(duì)應(yīng)解析意境：</span><span style="font-size: 20px; color: rgb(1, 1, 1);">如圖1，</span><span style="font-size: 20px; color: rgb(22, 126, 251);">分別獲得</span><span style="font-size: 20px;">兩類動(dòng)態(tài)線長(zhǎng)度的函數(shù)表達(dá)式后，再把兩個(gè)函數(shù)式合并為一個(gè)二次函數(shù)式求最值。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 因豎線、橫線類動(dòng)態(tài)線的函數(shù)式容易利用兩動(dòng)端點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)獲得，則可先計(jì)算動(dòng)態(tài)豎線或動(dòng)態(tài)橫線的函數(shù)式。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 即見(jiàn)動(dòng)態(tài)豎線PM、橫線PE，直接計(jì)算它的函數(shù)表達(dá)式。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 且廣泛應(yīng)用的跨越豎線函數(shù)式，一定要能夠熟練計(jì)算.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 因斜線類動(dòng)態(tài)線PN、PF的函數(shù)式都不能直接獲得，則需作輔助跨越豎線，構(gòu)造出以動(dòng)態(tài)斜線為一邊的輔助三角形后，再通過(guò)解輔助三角形，得斜線與輔助豎線的數(shù)量關(guān)系，繼而依賴易得的豎線函數(shù)式獲得斜線的函數(shù)式。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 所以，解題的難點(diǎn)是求斜線類跨越線的函數(shù)表達(dá)式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size: 20px; color: rgb(237, 35, 8);">對(duì)應(yīng)解析意境：</span><span style="font-size: 20px;">動(dòng)態(tài)線的線動(dòng)端點(diǎn)在那一條定直線上，就計(jì)算該定直線的函數(shù)表達(dá)式，使得能夠根據(jù)拋物線和定直線的函數(shù)表達(dá)式，得到豎橫動(dòng)態(tài)線兩動(dòng)端點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo).。</span></p> <p class="ql-block"><span style="color: rgb(237, 35, 8); font-size: 20px;">對(duì)應(yīng)解析意境：</span><span style="font-size: 20px;">動(dòng)態(tài)斜線平行或垂直那一條直線，就要計(jì)算并變換與這條定直線關(guān)聯(lián)的定直角三角形的邊比或內(nèi)角。</span></p><p class="ql-block"> 如圖3-1，因?yàn)樾贝咕€PN垂直定直線BC，則定直角△OBC與計(jì)算PN的函數(shù)式有關(guān)，那么需計(jì)算并變換定直角△OBC的邊比或內(nèi)角；</p><p class="ql-block"> 一般斜線PF平行定直線AC，則遠(yuǎn)見(jiàn)到定直角△OAC與計(jì)算PF的函數(shù)式有關(guān)，那么需計(jì)算并變換定直角△OAC的定邊比；.</p><p class="ql-block">如圖3-2，因一般斜垂線MN垂直定直線BC，則預(yù)見(jiàn)到要計(jì)算并變換定直角△OBC的定邊比;</p><p class="ql-block">如圖4-2，因鏈接斜垂線MN垂直定直線BG，則遠(yuǎn)見(jiàn)到需計(jì)算并變換定直角△OBG的定邊比;</p><p class="ql-block">如圖4-3，因PN是垂直定直線BD的斜垂線，則定直角△OBD與計(jì)算PN的函數(shù)式有關(guān)，那么，要計(jì)算并變換定直角△OBD的定邊比;</p><p class="ql-block"> 所以，動(dòng)態(tài)線平行或垂直那一條直線，就應(yīng)立即意境通、解法明地計(jì)算并變換該直線關(guān)聯(lián)定直角三角形的定邊比</p><p class="ql-block"> 且要清晰地認(rèn)識(shí)到，那些為動(dòng)態(tài)斜線設(shè)置的加權(quán)系數(shù)，就是由關(guān)聯(lián)定直角三角形的定邊比引發(fā)的。</p> <p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;">簡(jiǎn)言之，有加權(quán)動(dòng)態(tài)線情景，就要意境通、解法明地去計(jì)算并變換關(guān)聯(lián)定直角三角形的邊比或內(nèi)角度數(shù)。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size: 20px; color: rgb(237, 35, 8);">對(duì)應(yīng)解析意境：</span><span style="font-size: 20px;">只要是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)引發(fā)線動(dòng)點(diǎn)形成的兩條動(dòng)態(tài)線，無(wú)論是鏈接情景，還是離散情景，無(wú)論是引出了兩個(gè)線動(dòng)點(diǎn)還是一個(gè)線動(dòng)點(diǎn)，都至少有一條兩端點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)線，所以，都要以函數(shù)思維的意境去求兩動(dòng)態(tài)線的和差最值，切莫與一個(gè)拋定點(diǎn)聯(lián)手另一線動(dòng)點(diǎn)牽引兩條或多條動(dòng)態(tài)線的幾何最值問(wèn)題混為一談。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> </span><span style="font-size: 18px;">如圖7-1， 跨越豎線PM與有定端點(diǎn)C的動(dòng)態(tài)線CD是離散情景，但依然是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P引出兩線動(dòng)點(diǎn)后形成的兩動(dòng)態(tài)線，則仍應(yīng)以函數(shù)動(dòng)態(tài)線的意境進(jìn)行解析。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;"> 如圖7-2， 跨越豎線PM與有定端點(diǎn)A的動(dòng)態(tài)線AD是離散情景，但依然是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P引出兩線動(dòng)點(diǎn)后形成的兩動(dòng)態(tài)線，則仍應(yīng)以函數(shù)動(dòng)態(tài)線的意境進(jìn)行解析。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> 下述各題的拋物線和定直線的函數(shù)表達(dá)式在變，兩動(dòng)態(tài)線的鏈接情景和位置再變、形態(tài)在變，但添線構(gòu)造輔助三角形的技法不變，計(jì)算動(dòng)態(tài)線函數(shù)式的意境不變，激活的幾何思緒不變，就能用先分別獲得兩動(dòng)態(tài)線的函數(shù)式，再合并為一個(gè)二次函數(shù)的解法，求出一個(gè)拋動(dòng)點(diǎn)引發(fā)多變的兩動(dòng)態(tài)線和差最值。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size: 20px; color: rgb(237, 35, 8);">再?gòu)?qiáng)調(diào)：</span><span style="font-size: 20px;">面對(duì)兩條此類函數(shù)動(dòng)態(tài)線段，以“先分別、再合并”的技法得到一個(gè)二次函數(shù)式，是基本的計(jì)算意境。</span></p> <p class="ql-block"><span style="color: rgb(237, 35, 8); font-size: 20px;">善思勤悟：</span><span style="font-size: 20px;">求一個(gè)拋動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的兩動(dòng)態(tài)線和差最大值，有幾個(gè)重要的計(jì)謀技法：</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;">（1）辨識(shí)兩動(dòng)態(tài)線的形態(tài).</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;">即辨識(shí)圖中的動(dòng)態(tài)線段是容易直接獲得函數(shù)式的豎線、橫線類形態(tài)，還是不能直接獲得函數(shù)式的斜垂線或一般斜線的斜線類形態(tài)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;">(2) 求出兩類動(dòng)端點(diǎn)所在的拋物線和直線的函數(shù)表達(dá)式，以便在豎橫線的情景時(shí)，設(shè)出一個(gè)動(dòng)端點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)后、得到另一個(gè)動(dòng)端點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)；</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;">（3）先分別計(jì)算兩條動(dòng)態(tài)線的函數(shù)式，再把兩個(gè)函數(shù)式合并為一個(gè)二次函數(shù)式后求最大值；</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;">（4）是豎線和橫線形態(tài)的動(dòng)態(tài)線情景，直接利用兩動(dòng)端點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)計(jì)算它的函數(shù)式；</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;"> （5） 求動(dòng)態(tài)斜線的函數(shù)式，先作輔助豎線或輔助橫線，構(gòu)造出以動(dòng)態(tài)斜線為一邊的輔助三角形，然后以解輔助三角形的技法，獲得動(dòng)態(tài)斜線與輔助豎線或橫線的數(shù)量關(guān)系。繼而依賴動(dòng)態(tài)豎線或動(dòng)態(tài)橫線易得的函數(shù)式，獲得動(dòng)態(tài)斜線的函數(shù)式；（這是解析重難點(diǎn)）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 20px;">（6）計(jì)算并變換定直角三角形的定邊比或者內(nèi)角;（這是需要遠(yuǎn)見(jiàn)到的計(jì)算計(jì)謀技法）</span></p> <p class="ql-block">善思善悟：解決此類動(dòng)態(tài)線段的函數(shù)最值問(wèn)題，設(shè)置的拋物線僅是為了得到一些點(diǎn)的坐標(biāo)，以及利用拋物線的解析式設(shè)拋動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)。從而利用得到的定點(diǎn)坐標(biāo)，擴(kuò)充出關(guān)聯(lián)定直線的函數(shù)表達(dá)式、以及有關(guān)線段的長(zhǎng)、關(guān)聯(lián)定直角三角形的邊比或內(nèi)角。 </p><p class="ql-block"> 所以，解析難點(diǎn)來(lái)自于為獲得動(dòng)態(tài)斜線的函數(shù)式時(shí)，需要激活的構(gòu)造輔助直角三角形，思相似，變邊比，解三角形的幾何思維。</p> <p class="ql-block"><span style="color: rgb(237, 35, 8); font-size: 20px;">再次強(qiáng)調(diào)：</span>解決一個(gè)拋動(dòng)點(diǎn)引發(fā)線動(dòng)點(diǎn)形成的動(dòng)態(tài)線最值問(wèn)題，關(guān)鍵是求斜線類動(dòng)態(tài)線的函數(shù)式。秘技是過(guò)動(dòng)點(diǎn)作豎線或橫線，構(gòu)造以動(dòng)態(tài)斜線為邊的輔助三角形.。 麻煩的是用解輔助三角形的幾何思維，得動(dòng)態(tài)斜線與豎線或橫線的數(shù)量關(guān)系。</p> <p class="ql-block"><span style="color: rgb(237, 35, 8);">善思善悟</span>：斜線類動(dòng)態(tài)線段的函數(shù)式是不能直接獲得的，那么求動(dòng)態(tài)斜線的函數(shù)式時(shí)，要清醒地展開(kāi)幾何思維.</p>