<p class="ql-block"> 在可壓縮流動的教學中，有一些看似簡單的基本問題和概念，學生卻往往不易深刻理解和掌握，例如以下 8 個基本問題：</p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">1. 為什么低馬赫數流動可視為不可壓縮流動？馬赫數低至多少時可作為不可壓縮的界限？這個界限是唯一的嗎？</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">2. 為什么低速氣流中可不必考慮熱力學參數及其變化關系、而高速氣流中卻需要考慮？</span></p><p class="ql-block">3.<span style="font-size: 18px;"> 為什么低速時用速度V來描述氣體流動、而高速時則用馬赫數Ma來描述氣體流動？</span></p><p class="ql-block">4. 什么是流體的內能？引起流體內能變化的因素是什么？</p><p class="ql-block">5. <span style="font-size: 18px;">什么是流體的機械能？</span>機械能與內能u的區(qū)別與聯系是什么？</p><p class="ql-block">6. 什么是總機械能、總能量及其影響因素？</p><p class="ql-block">7. <span style="font-size: 18px;">等熵</span>（<span style="font-size: 18px;">理想</span>）<span style="font-size: 18px;">可壓縮流動中的溫度變化范圍和速度變化范圍分別是多少？</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">8. 在閉口系統(tǒng)與開口系統(tǒng)中能量方程有何區(qū)別與聯系？</span>其中的內能、動能與壓能、勢能在概念上有何區(qū)別？</p><p class="ql-block">以下是對相關問題的思考與討論（注：以下討論中均不涉及化學反應問題）。</p> <p class="ql-block"><b>1. 為什么低馬赫數流動可視為不可壓縮流動？馬赫數低至多少時可作為不可壓的界限？這個界限是唯一的嗎？</b></p><p class="ql-block"><b>答：</b><span style="font-size: 18px;">實際流體都具有一定可壓縮性，在一定條件下流體的密度變化可能很小，以至于可以把這種流動假設為密度不變的</span>不可壓縮流體（流動）。不可壓縮流體是流體力學和空氣動力學的一種理想化模型，采用這一理想化模型可以簡化分析。</p><p class="ql-block"> 在定常等熵的可壓縮流動中，密度的相對變化 (<span style="font-size: 18px;">dρ/ρ) </span>與馬赫數 (Ma=V/c，<span style="font-size: 18px;">V 是速度，c 是聲速</span>) 的關系如下。在Ma不太大的情況下，<span style="font-size: 18px;">將一維等熵關系式密度比 ρo/ρ=(1+(γ-1)(Ma^2)/2)^(1/(</span>γ-1)) 用二項式展開并略去高階小，其中 <span style="font-size: 18px;">ρo 和 ρ 分別是滯止密度和密度，γ 是比熱比，可得：</span></p><p class="ql-block"><b> dρ/ρ ≈ (Ma^2)/2</b></p><p class="ql-block">可見當 Ma=0 時 <span style="font-size: 18px;">dρ/ρ=0 </span>為不可壓流動；反之當 <span style="font-size: 18px;">Ma≠0 時dρ/ρ≠0 ，且Ma</span>越大則引起的 <span style="font-size: 18px;">dρ/ρ </span>就越大且按 Ma 平方的規(guī)律增加。因此馬赫數 Ma 是代表壓縮性大小的一個指標。當馬赫數較低以至于密度的相對變化可以被忽略時，可將流動近似假設為不可壓縮流動。例如當<span style="font-size: 18px;">Ma</span>≤<span style="font-size: 18px;">0.3時密度的相對變化不大于4.5%，從工程應用角度來看這已足夠小，可近似假設為密度不變化。因此人們通常把Ma = 0.3當作不可壓縮的最高馬赫數限制，而</span>這與人們能接受的密度相對變化大小有關，如果認為 4.5% 的密度變化仍然偏大，則可以進一步規(guī)定比 Ma=0.3 更小的馬赫數作為不可壓縮假設的界限。</p> <p class="ql-block"><b>2. 為什么低速氣流中可不必考慮熱力學參數及其變化關系、而高速氣流中卻需要考慮？?</b></p><p class="ql-block">答：由于馬赫數定義為氣流速度V與當地聲速c之比（Ma=V/c），故低速時馬赫數通常也較小，可假設為不可壓流動。另外馬赫數的平方還代表流動中動能與內能之比（Ma^2~V^2/u），當馬赫數較小時，流動中的動能（以及其他機械能包括壓能及勢能等）遠小于內能，<span style="font-size: 18px;">尤其是在假設流動為不可壓流的情況下，</span>當流速、壓強等參數發(fā)生變化時，不會引起內能或溫度、密度等熱力學參數發(fā)生明顯的變化，因此不必考慮熱力學參數及其關系。<span style="font-size: 18px;">下面圖1的漫畫刻畫了不可壓流中內能與其他機械能（動能、壓能、勢能）的相對大小關系。</span></p> <p class="ql-block" style="text-align: center;">圖1. 不可壓流中內能相對于動能、壓能等機械能而言很大，相對微小的動能、壓能等變化不會對內能產生明顯影響</p> <p class="ql-block"> 反之當馬赫數較大時，動能（以及其他機械能包括壓能、勢能等）相對于內能已不是小量，隨動能等機械能的變化將會引起或伴隨著內能（包括密度）相應的變化以及內能與其他機械能之間的能量轉換，且這種能量轉換在等熵時是可逆的，在非等熵時是不可逆的。因此可壓流中必須考慮熱力學參數和相應的熱力學關系。</p><p class="ql-block"> 值得指出，熱力學參數和熱力學方程實際上無論對低速和高速氣流都是適用的，只是對于低速氣流而言，在馬赫數足夠低的情況下，采用不可壓模型時用伯努利方程得到的結果與采用熱力學參數和熱力學方程得到的結果沒有太大的差別，這就是不可壓模型下不考慮熱力學參數和熱力學方程帶來的簡化好處。</p> <p class="ql-block"> 可壓流中內能與其他機械能的可逆轉換在工程上也有重要應用，例如當氣流高速膨脹加速時不僅壓強、密度會明顯降低，而且溫度也會大幅度下降，利用這一原理進行降溫制冷的方法<span style="font-size: 18px;">稱為空氣膨脹制冷，</span>是一種完全不同于冰箱或空調利用制冷劑相變來制冷的方法（相變制冷原理參見圖2所示）。飛機上的空調系統(tǒng)就是將飛機發(fā)動機壓氣機的增壓高溫空氣<span style="font-size: 18px;">引出，再</span>通過特殊設計的渦輪加速膨脹并對外輸出功率而制冷，再通過調溫后獲得座艙空調空氣（參見圖3所示）。</p> <p class="ql-block" style="text-align: center;">圖2. 空調或冰箱依靠制冷劑的相變循環(huán)制冷（蒸發(fā)吸熱和冷凝放熱）</p> <p class="ql-block" style="text-align: center;">圖3. 民航機的空調依靠空調組件中的制冷裝置-膨脹渦輪，將來自發(fā)動機壓氣機的高壓高溫空氣加速膨脹并輸出功率而降溫</p> <p class="ql-block"><b>3. 為什么低速時用速度V來描述氣體流動、而高速時則用馬赫數Ma來描述氣體流動？</b></p><p class="ql-block"><b>答：</b>幾種不同物體的運動速度和馬赫數可用圖4示意如下。</p> <p class="ql-block" style="text-align: center;">圖4. 幾種不同物體的運動速度和馬赫數</p> <p class="ql-block"> 氣體低速流動時可視為不可壓流 <span style="font-size: 18px;">(馬赫數 Ma</span>≤<span style="font-size: 18px;">0.3，</span>參見第1條），此時隨流動變化的參數主要是速度與壓強，并<span style="font-size: 18px;">可用伯努利方程（假設定常、理想、不可壓）描述流動參數（速度、壓強）關系，其中</span>氣體勢能可忽略，而相對較大的內能（溫度）則不隨流動改變（參見第2條），從而用速度來描述低速流動既直接又完備。</p><p class="ql-block"> 當氣體流速較高時(馬赫數 Ma≥0.3)，流體的壓縮性逐漸明顯，隨速度變化除了壓強變化<span style="font-size: 18px;">之外（氣體勢能仍可忽略），</span>溫度和密度均會發(fā)生相應變化，其中內能大小與其他能量相當、且會參與能量的相互轉換。根據馬赫數的定義（Ma=V/c 速度與當地聲速之比）和力學意義（慣性力與彈性力之比），說明<span style="font-size: 18px;">馬赫數大小不僅反映速度的相對快慢，還代表流動可壓縮性的大小；根據馬赫數的能量意義（動能與內能之比），說明馬赫數大小</span>還代表內能參與其他機械能轉換的程度。另外，在高速可壓流動中，壓強、密度、溫度等參數都可表為馬赫數的函數。因此可壓流中采用更具物理意義和更廣泛代表性的馬赫數而非速度來描述流動。</p> <p class="ql-block"><b>4. 什么是流體的內能？引起流體內能變化的因素是什么？</b></p><p class="ql-block"><b>答：</b>內能是流體分子間作用勢能和熱運動動能的總和，內能以溫度為標志，不可壓流與可壓流中都存在內能。</p><p class="ql-block"> 在理想（無粘性）、<span style="font-size: 18px;">無外功輸入輸出、</span>不可壓流中，既不存在機械能不可逆轉化為熱的機制，也不存在機械能與內能之間可逆轉換的機制，則<span style="font-size: 18px;">引起</span>內能變化的因素只能是外部傳熱，而對不可壓流體加熱只會使其溫度升高卻不會使其膨脹做功。</p><p class="ql-block"> 在<span style="font-size: 18px;">圖5所示的回流式低速風洞中，風扇驅動</span>不可壓、<span style="font-size: 18px;">有粘性、</span>低速氣流循環(huán)流動，除了風扇作功會使系統(tǒng)升溫之外，流體機械能也會不可逆地耗散為熱，但由于系統(tǒng)本身的內能相對很大，上述效應并不會使系統(tǒng)升溫很高、很快，從而系統(tǒng)升溫能夠與風洞內外的傳熱達到平衡，風洞不需要布置冷卻器等降溫裝置。</p> <p class="ql-block" style="text-align: center;">圖5. 回路式低速風洞結構，運行時系統(tǒng)升溫并不十分嚴重且易與外界達到熱平衡</p> <p class="ql-block"> 對絕熱、無外功、可壓縮高速氣流，內能（溫度）變化的因素主要是兩個：第一，理想無黏時內能與其他機械能發(fā)生可逆轉化；第二，有黏時除了上述可逆轉化機制仍然存在之外，機械能還會不可逆地轉換成內能，且由于幾種能量的量級相當，上述轉換將引起系統(tǒng)中溫度的明顯變化，這包括可逆與不可逆情況。例如：高速空氣加速膨脹制冷是內能與機械能之間的可逆轉換造成的，高速空氣摩擦生熱則是機械能與內能之間的不可逆轉換造成的。</p><p class="ql-block"> 圖 6 所示的回流式超聲速風洞中同時存在著流體加速降溫（噴管下游及實驗段），減速升溫（第二喉道及擴壓段），以及氣流與管壁摩擦生熱的現象，前二者為可逆轉換，后者屬不可逆轉換。由于速度高，局部降溫和大部分管路的升溫都比較明顯，另外壓氣機對系統(tǒng)作功也造成系統(tǒng)升溫。<span style="font-size: 18px;">為防止系統(tǒng)管路升溫過高須設置冷卻器，</span>為防止局部低溫造成濕空氣凝結須設置干燥器。</p> <p class="ql-block" style="text-align: center;">圖6. 某回路式超聲速風洞結構，為防止噴管下游和實驗段水汽凝結以及避免系統(tǒng)溫度過高，設置了干燥器和冷卻器</p> <p class="ql-block"><b>5.什么是流體的機械能？機械能與內能u的區(qū)別與聯系是什么？</b></p> <p class="ql-block"><b>答：</b>機械能是一種全部可用于對外做機械功的高級能量，在開口系統(tǒng)中流體機械能包含了動能、勢能與壓能，它們都可以在流經控制面進出口時相互轉換，也可以全部對外輸出做機械功。例如，單位重量流體的勢能 y 代表了在高度y 處的單位重量流體，在重力場的作用下具有從y高度至勢能零點0高度做功的能力。同理，由于流體中蘊含著壓能 pν (單位質量的壓能，其中 ν=1/ρ ，ν 是比容，<span style="font-size: 18px;">ρ </span>是密度）或 p/(<span style="font-size: 18px;">ρ</span>g)（單位重量的壓能，g是重力加速度），因此當在流體中插入一根真空玻璃管時，該處流體將在壓強推動下沿真空管爬升p/(<span style="font-size: 18px;">ρ</span>g)高度，說明它的確是一種特殊的勢能，稱為單位重量流體的壓力勢能，而 p<span style="font-size: 18px;">ν </span>可稱為單位質量流體的壓力勢能簡稱壓能。</p><p class="ql-block"> 下面從做功的角度來考察 p<span style="font-size: 18px;">ν。</span>在流動過程中 p<span style="font-size: 18px;">ν </span>的變化可表為：</p><p class="ql-block"> <b> d(p</b><b style="font-size: 18px;">ν</b><b>)=pd</b><b style="font-size: 18px;">ν</b><b>+νdp</b></p><p class="ql-block">其中 pd<span style="font-size: 18px;">ν </span>即膨脹功，而 νdp 則是流動中由壓強差引起的壓強功，二者之和 d(p<span style="font-size: 18px;">ν</span>) 稱為流動功，流動功是為了推動流體進出控制體界面而傳遞的機械功，如果規(guī)定推動流體流入控制體作功為正、流出為負，則流動功表為 - <span style="font-size: 18px;">d(pν) 。</span>流動功與壓能 <span style="font-size: 18px;"> pν </span>在物理本質上沒有區(qū)別，機械功與<span style="font-size: 18px;">機械能也沒有本質的區(qū)別。</span></p><p class="ql-block"> 下面討論內能 <span style="font-size: 18px;">u </span>與機械能（例如壓能 pν）的區(qū)別與聯系。u 與 pν 二者均為單位質量流體的能量但地位卻不相同。如前所述 pν 是一種機械能，可以全部對外輸出做功，因此是一種高級形式的能量。而內能 u 在非等熵時不能全部<span style="font-size: 18px;">用于</span>對外輸出做機械功，因此內能只是一種低級形式的能量，在可壓縮且等熵情況下能夠與機械能之間可逆轉換時內能才可被視為機械能。在可壓縮、絕熱、非等熵情況下，由機械能不可逆轉化為熱的一部分內能是低級能，能夠與機械能之間相互可逆轉化的部分內能可暫時被視為機械能，這兩種情況可以同時在系統(tǒng)中存在，正如圖 6 顯示的回流式超聲速風洞中同時存在著膨脹加速降溫、壓縮減速升溫以及摩擦升溫現象一樣。根據非等熵流的熵增原理，內能中“有用”的部分將越來越少，暫時“有用”的<span style="font-size: 18px;">內能</span>終究都會全部變成“無用的低級能”。因此圖 6 的風洞結構中需要配置冷卻器來吸走高溫卻無用的“低級能”，同時壓氣機不斷地為系統(tǒng)輸入機械能以維持風洞運轉，否則系統(tǒng)就無法正常工作。</p> <p class="ql-block"><b>6. 什么是流體的總機械能、總能量及其影響因素？</b></p><p class="ql-block">答：流體的總機械能是流體所有機械能的總和，包含高級的動能、壓能、勢能以及部分可利用（或可與其他機械能發(fā)生可逆轉換）的內能等。而流體的總能量則除了上述高級的機械能之外，還包括低級的（或不可再利用的）內能。</p><p class="ql-block"> 定常、絕熱、無外功輸入輸出、可壓縮、有摩擦、不計勢能的一維能量方程可表為：</p><p class="ql-block"><b> u+p/ρ+V*V/2=h+V*V/2=ho</b></p><p class="ql-block"><b>或 CpT+ V*V/2=CpTo</b><b style="font-size: 18px;">= const</b></p><p class="ql-block">上式簡稱絕熱一維流能量方程（其中h是焓，ho是總焓，Cp是等壓比熱，T是靜溫，To是總溫），該方程與伯努利方程最大的區(qū)別在于內能 u 參與了與其他機械能的相互轉換（包含可逆與不可逆轉換），此外伯努利方程適用于理想、不可壓流，而上述絕熱能量方程則適用于絕熱、有粘性、可壓流（這里僅列寫二者條件不同之處）。上方程右端是以總溫為特征的總焓，代表流體的總能量，可見絕熱時總焓、總溫或總能量不變，因此總溫代表了流體的總能量。</p><p class="ql-block"> 上述能量方程表明了絕熱可壓流的能量守恒關系，但它不能表明能量轉換的方向，能夠表明能量轉換方向的是熱力學第二定律或熵增原理。根據熵增公式和熵增原理(熱力學第二定理)，從狀態(tài)1流到狀態(tài)2的熵增量 <span style="font-size: 18px;">△S </span>可表為：</p><p class="ql-block"> <b>△S = S2-S1 = -R ln Po2/Po1 </b>≥ <b>0</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">可見</span>流動的熵增與總壓 Po 損失有關，當 <span style="font-size: 18px;">△S=0 時 Po2=Po1，即</span>等熵時總壓不變；當 <span style="font-size: 18px;">△S>0 時 Po2<Po1，即</span>非等熵時總壓減小，因此總壓代表了流體的總機械能。</p> <p class="ql-block"><b>7. 等熵（理想）可壓縮流動中的溫度變化范圍和速度變化范圍分別是多少？</b></p><p class="ql-block">答：根據定常一維絕熱流能量方程：</p><p class="ql-block"><b> CpT+ V*V/2=CpTo</b></p><p class="ql-block">設想用膨脹加速的方法能使靜溫無損失<span style="font-size: 18px;">（等熵）</span>地降為絕對 0 K，由上述絕熱能量方程，流動能達到的理想最大速度取決于總溫<span style="font-size: 18px;">Vmax=√ (2 CpTo)</span>，<span style="font-size: 18px;">由于實際流動為非等熵，根據熵增原理實際上這是不可能完全實現的，因為在膨脹加速的過程中總有一部分機械能不可逆地轉化為不可再利用的熱，使得溫度不可能降至絕對 0 K，</span>同時也不可能使氣流膨脹加速到上述最大速度。</p><p class="ql-block"> 另一方面，如果流動速度絕熱地滯止為零，則流體溫度（靜溫）將升高為與總溫相同。</p><p class="ql-block"> 綜上，等熵流動中溫度的變化范圍是絕對0 K至總溫To之間，速度的變化范圍是<span style="font-size: 18px;">滯止速度0至理想</span>最大速度<span style="font-size: 18px;">Vmax=√ (2 CpTo)之間（均與總溫有關）。由于實際流動非等熵，溫度不可能真正降到絕對0 K，速度也不可能真正達到上述理想的最大速度。</span></p> <p class="ql-block"><b>8. 在閉口系統(tǒng)與開口系統(tǒng)中能量方程有何區(qū)別與聯系？其中的內能、動能與壓能、勢能在概念上有何區(qū)別？</b></p><p class="ql-block"><b>答：</b>熱力學、<span style="font-size: 18px;">流體力學和空氣動力學通常有</span>閉口系統(tǒng)與開口系統(tǒng)（控制體）<span style="font-size: 18px;">兩種研究對象（或</span>方法）。<span style="font-size: 18px;">原始的力學定理或方程往往都是針對閉口系統(tǒng)給出的，然而在許多流動問題中常用開口系統(tǒng)（控制體）方法。</span>閉口系統(tǒng)與開口系統(tǒng)（控制體）的幾何關系<span style="font-size: 18px;">如圖7所示，其中閉口系統(tǒng)為實線和模型所圍的流體空間，系統(tǒng)可變形可移動、內外無質量交換；開口系統(tǒng)（控制體）是初時刻系統(tǒng)占據的固定空間、并允許流體穿過。</span></p> <p class="ql-block" style="text-align: center;"> 圖7. 閉口系統(tǒng)與開口系統(tǒng)（控制體）的幾何關系</p> <p class="ql-block">針對閉口系統(tǒng)，能量方程可表為：</p> <p class="ql-block">表明：<b>外界對閉口系統(tǒng)的加熱（率）+ 外功（率）= 閉口系統(tǒng)中的能量增加(率)</b>，其中外功（率）包括外界輸入(出)的軸功(率)、外界表面力作功(率)以及外界徹體力作功(率)，右端閉口系統(tǒng)的能量僅指系統(tǒng)蘊含的微觀熱能（內能u）和宏觀動能(V*V/2)。</p><p class="ql-block">其中外表面法向力（壓強）作功可表為壓強勢能（壓能）的流量：</p> <p class="ql-block">此外，表面力中的切向力作功總可以通過適當選取控制面使其為零。</p> <p class="ql-block">徹體力作功可表為徹體力（或重力）勢能的當地變化量及其流量：</p> <p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">其中 p/ρ 是單位質量的壓強勢能（壓能），f 是單位質量徹體力向量，Ω 是徹體力勢函數，重力場下 Ω = gy，因此重力場下 gy 即單位質量的重力勢能。</span></p> <p class="ql-block">當將上述方程從閉口系統(tǒng)轉換到開口系統(tǒng)時（應用雷諾輸運方程），則方程可表為：</p> <p class="ql-block">表明：<b>外界對開口系統(tǒng)的加熱率+軸功率=開口系統(tǒng)中內能、動能與徹體力勢能隨時間的變化率+凈流出開口系統(tǒng)的能量流量</b>，其中能量流量不僅含有內能和動能，還包括法向表面力（壓強）作功（壓強功或推動功）對應的壓能以及<span style="font-size: 18px;">徹體力作功</span>對應的勢能。</p><p class="ql-block"> 上述兩個能量方程沒有本質不同，區(qū)別只是在于：前者適用于閉口系統(tǒng)后者適用于開口系統(tǒng)。</p><p class="ql-block"> 而其中的四項能量：內能、動能與壓強（力）勢能和重力勢能在概念上有些許區(qū)別，前二項是系統(tǒng)中流體由于微觀熱運動和宏觀運動而具有的能量即<span style="font-size: 18px;">內能和動能；而后二項則是由外力（法向力和徹體力）對系統(tǒng)所作的</span>壓強功和徹體力功轉化形成的壓力勢能和徹體力（重力）勢能。在關于控制體的能量方程中右端第一項當地能量增加率中不含壓能，第二項能量流量則含有上述四項能量。當定常時上式右端僅含有流過控制面的能量流量，這為許多定常工程問題的求解帶來了方便。</p>