<p class="ql-block"> 說到數(shù)學(xué)難題，我最先想到的是哥德巴赫猜想，其實(shí)哥德巴赫猜想并不是這七大數(shù)學(xué)難題之一，下面就讓我們來一起看看當(dāng)今科技如此發(fā)達(dá)的情況下，還有哪些數(shù)學(xué)難題。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">世界七大數(shù)學(xué)難題：</b></p><ol class="ql-block"><li>P/NP問題 (P versus NP)</li><li>霍奇猜想 (The Hodge Conjecture)</li><li>龐加萊猜想 (The Poincaré Conjecture)，此猜想已獲得證實(shí)。</li><li>黎曼猜想 (The Riemann Hypothesis)</li><li>楊-米爾斯存在性與質(zhì)量間隙 (Yang-Mills Existence and Mass Gap)</li><li>納維-斯托克斯存在性與光滑性 (Navier-Stokes existence and smoothness)</li><li>貝赫和斯維訥通-戴爾猜想 The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)</li></ol> <p class="ql-block"> 所謂的世界七大數(shù)學(xué)難題，其實(shí)是于 <b>2000年5月24日</b>由由美國克雷數(shù)學(xué)研究所公布的七個(gè)數(shù)學(xué)難題。也被稱為<b>千禧年大獎(jiǎng)難題</b>。</p><p class="ql-block"> 根據(jù)克雷數(shù)學(xué)研究所訂定的規(guī)則，所有難題的解答必須發(fā)表在數(shù)學(xué)期刊上，并經(jīng)過各方驗(yàn)證，只要通過兩年驗(yàn)證期，每解破一題的解答者，會(huì)頒發(fā)獎(jiǎng)金<b>100萬美元</b>。</p><p class="ql-block"> 這些難題是呼應(yīng) <b>1900年</b>德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi) ? 希爾伯特在巴黎提出的 <b>23個(gè)</b>歷史性數(shù)學(xué)難題，經(jīng)過一百年，許多難題已獲得解答。而千禧年大獎(jiǎng)難題的破解，極有可能為<b>密碼學(xué)</b>以及<b>航天</b>、<b>通訊</b>等領(lǐng)域帶來突破性進(jìn)展。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">一、P/NP 問題</b></p> <p class="ql-block"> <b>P/NP</b> 問題是世界上最難的數(shù)學(xué)題之一。在理論信息學(xué)中計(jì)算復(fù)雜度理論領(lǐng)域里至今沒有解決的問題，它也是克雷數(shù)學(xué)研究所七個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題之一。</p> <p class="ql-block"> <b>P/NP</b> 問題中包含了復(fù)雜度類 <b>P</b> 與 <b>NP</b>的關(guān)系。<b>1971年</b>史提芬 ? 古克和 Leonid Levin 相對獨(dú)立的提出了下面的問題，即是否<u style="color: rgb(237, 35, 8);">兩個(gè)復(fù)雜度類 </u><b style="color: rgb(237, 35, 8);"><u>P</u></b><u style="color: rgb(237, 35, 8);"> 和 </u><b style="color: rgb(237, 35, 8);"><u>NP</u></b><u style="color: rgb(237, 35, 8);"> 是恒等的 (</u><b style="color: rgb(237, 35, 8);"><u>P=NP?</u></b><u style="color: rgb(237, 35, 8);">)</u>。 </p> <p class="ql-block"> 復(fù)雜度類 <b>P</b> 即為所有可以由一個(gè)確定型圖靈機(jī)在多項(xiàng)式表達(dá)的時(shí)間內(nèi)解決的問題；類<b>NP</b> 由所有可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證解是否正確的決定問題組成，或者等效的說，那些解可以在非確定型圖靈機(jī)上在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找出的問題的集合。很可能，計(jì)算理論最大的未解決問題就是關(guān)于這兩類的關(guān)系的： </p><p class="ql-block"> <b>P</b> 和 <b>NP</b> 相等嗎？ 在 <b>2002</b>年對于 <b>100</b>研究者的調(diào)查，<b>61人</b>相信答案是否定的，<b>9個(gè)</b>相信答案是肯定的，<b>22個(gè)</b>不確定，而 <b>8個(gè)</b>相信該問題可能和現(xiàn)在所接受的公理獨(dú)立，所以不可能證明或證否。</p><p class="ql-block"> 對于正確的解答，有一個(gè) <b>1百萬美元</b>的獎(jiǎng)勵(lì)。 <b>NP-</b> 完全問題 (或者叫 <b>NPC</b>) 的集合在這個(gè)討論中有重大作用，它們可以大致的被描述為那些在 <b>NP </b>中最不像在 <b>P</b> 中的 (確切定義細(xì)節(jié)請參看 <b>NP- </b>完全理論)。計(jì)算機(jī)科學(xué)家現(xiàn)在相信 <b>P</b>, <b>NP</b>，和 <b>NPC</b>類之間的關(guān)系如圖中所示，其中 <b>P</b> 和 <b>NPC</b>類不交。</p> <p class="ql-block"> 假設(shè) <b>P ≠ NP</b> 的復(fù)雜度類的圖解。如 <b>P = NP</b> 則三個(gè)類相同。 簡單來說，<b>P = NP </b>問題問道：如果 “<b>是／不是</b>” 問題的正面答案可以很快驗(yàn)證，其答案是否也可以很快計(jì)算？這里有一個(gè)給你找點(diǎn)這個(gè)問題的感覺的例子。給定一個(gè)大數(shù) <b>Y</b>，我們可以問 <b>Y</b>是否是復(fù)合數(shù)。例如：我們可能問 <b>53308290611</b> 是否有非平凡的因數(shù)。答案是肯定的，雖然手工找出一個(gè)因數(shù)很麻煩。從另一個(gè)方面講，如果有人聲稱答案是 “對，因?yàn)?<b>224737</b> 可以整除 <b>53308290611</b>"，則我們可以很快用一個(gè)除法來驗(yàn)證。驗(yàn)證一個(gè)數(shù)是除數(shù)比找出一個(gè)明顯除數(shù)來簡單得多。用于驗(yàn)證一個(gè)正面答案所需的信息也稱為證明。所以我們的結(jié)論是，給定正確的證明，問題的正面答案可以很快地 (也就是，在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)) 驗(yàn)證，而這就是這個(gè)問題屬于 <b>NP</b> 的原因。雖然這個(gè)特定的問題，最近被證明為也在 <b>P類</b>中 (參看下面的關(guān)于 "質(zhì)數(shù)在 <b>P中</b> " 的參考)，這一點(diǎn)也不明顯，而且有很多類似的問題相信不屬于類 <b>P</b>。 像上面這樣，把問題限制到 “<b>是／不是</b>” 問題并沒有改變原問題 (即沒有降低難度))；即使我們允許更復(fù)雜的答案，最后的問題 (是否 <b>FP = FNP</b>) 是等價(jià)的。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 18px;">關(guān)于證明的難度的結(jié)果</b></p> <p class="ql-block"> 雖然百萬美元的獎(jiǎng)金和投入巨大卻沒有實(shí)質(zhì)性結(jié)果的大量研究足以顯示該問題是困難的，但是還有一些形式化的結(jié)果證明為什么該問題可能很難解決。 最常被引用的結(jié)果之一是設(shè)計(jì)神諭。</p><p class="ql-block"> 假想你有一個(gè)魔法機(jī)器可以解決單個(gè)問題，例如判定一個(gè)給定的數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，可以瞬間解決這個(gè)問題。我們的新問題是，若我們被允許任意利用這個(gè)機(jī)器，是否存在我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證但無法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決的問題？結(jié)果是：依賴于機(jī)器能解決的問題，P = NP 和 <b>P ≠ NP</b> 二者都可以證明。</p><p class="ql-block"> 這個(gè)結(jié)論帶來的后果是，任何可以通過修改神諭來證明該機(jī)器的存在性的結(jié)果不能解決問題。不幸的是，幾乎所有經(jīng)典的方法和大部分已知的方法可以這樣修改 (我們稱它們在相對化)。 </p><p class="ql-block"> 如果這還不算太糟的話，<b>1993年 </b>Razborov 和 Rudich 證明的一個(gè)結(jié)果表明，給定一個(gè)特定的可信的假設(shè)，在某種意義下 “自然” 的證明不能解決 <b>P = NP</b> 問題。這表明一些現(xiàn)在似乎最有希望的方法不太可能成功。</p><p class="ql-block"> 隨著更多這類定理得到證明，該定理的可能證明方法有越來越多的陷阱要規(guī)避。 這實(shí)際上也是為什么 <b>NP</b> 完全問題有用的原因：若對于 <b>NP</b> 完全問題存在有一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間算法，或者沒有一個(gè)這樣的算法，這將能用一種相信不被上述結(jié)果排除在外的方法來解決 <b>P = NP</b> 問題。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">二、霍奇猜想</b></p> <p class="ql-block"> 霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個(gè)重大的懸而未決的問題。它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項(xiàng)式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想。它在霍奇的著述的一個(gè)結(jié)果中出現(xiàn)，他在 1930 至 1940 年間通過包含額外的結(jié)構(gòu)豐富了德拉姆上同調(diào)的表述，這種結(jié)構(gòu)出現(xiàn)于代數(shù)簇的情況 (但不僅限于這種情況)。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">三、龐加萊猜想</b></p> <p class="ql-block"> 龐加萊猜想最早是由法國數(shù)學(xué)家龐加萊提出的一個(gè)猜想，是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的數(shù)學(xué)方面七大千禧年難題之一。<b>2006</b>年確認(rèn)由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里 ? 佩雷爾曼完成最終證明，他也因此在同年獲得菲爾茲獎(jiǎng)，但并未現(xiàn)身領(lǐng)獎(jiǎng)。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">基本描述</b></p> <p class="ql-block"> 在 <b>1900</b> 年，龐加萊曾聲稱，用他基于恩里科·貝蒂的工作而發(fā)展出的同調(diào)論，可以判定一個(gè)三維流形是否三維球面。</p><p class="ql-block"> 不過，他在 <b>1904</b> 年發(fā)表的一篇論文中，舉出了一個(gè)反例，現(xiàn)在稱為龐加萊同調(diào)球面，與三維球面有相同的同調(diào)群。他引進(jìn)了一個(gè)新的拓?fù)洳蛔兞?，稱為基本群，并且證明他的反例與三維球面的基本群不同。三維球面有平凡基本群，也就是說是單連通的。</p><p class="ql-block"> 他提出以下猜想： 任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 上述簡單來說就是：每一個(gè)沒有破洞的封閉三維物體，都拓?fù)涞葍r(jià)于三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個(gè)柳橙表面的橡皮筋，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮筋以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)甜甜圈表面上，那么不扯斷橡皮筋或者甜甜圈，是沒有辦法把它不離開表面而又收縮到一點(diǎn)的。我們說，柳橙表面是“單連通的”，而甜甜圈表面則不是。 該猜想是一個(gè)屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的具有基本意義的命題，對“龐加萊猜想”的證明及其帶來的后果將會(huì)加深數(shù)學(xué)家對流形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，甚至?xí)θ藗冇脭?shù)學(xué)語言描述宇宙空間產(chǎn)生影響，對于一維與二維的情形，此猜想是對的，現(xiàn)在已經(jīng)知道，它對于任何維數(shù)都是對的。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">證明歷史</b></p> <p class="ql-block"> <b>20 </b>世紀(jì)這個(gè)問題曾經(jīng)被擱置了很長時(shí)間，直到 <b>1930</b> 年懷特海首先宣布已經(jīng)證明然而又收回，才再次引起了人們的興趣。</p><p class="ql-block"> 懷特海提出了一些有趣的三流形實(shí)例，其原型現(xiàn)在稱為懷特海流形。<b>1950</b> 和 <b>1960</b>年代，又有許多著名的數(shù)學(xué)家包括 R ? H ? 賓、沃夫?qū)?? 哈肯、愛德華 ? 摩斯聲稱得到了證明，但最終都發(fā)現(xiàn)證明存在致命缺陷。</p><p class="ql-block"><b> 1961</b>年，美國數(shù)學(xué)家史提芬 ? 斯梅爾采用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。</p><p class="ql-block"> 這段時(shí)間對于低維拓?fù)涞陌l(fā)展非常重要。這個(gè)猜想逐漸以證明極難而知名，但是證明此猜想的工作增進(jìn)了對三流形的理解。</p><p class="ql-block"><b> 1981</b>年美國數(shù)學(xué)家麥克 ? 傅利曼證明了四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。 </p><p class="ql-block"> <b>1982</b>年，理查德 ? 哈密頓引入了 “里奇流” 的概念，并以此證明了幾種特殊情況下的龐加萊猜想。在此后的幾年中，他進(jìn)一步地發(fā)展了此方法，后來被佩雷爾曼的證明所使用。 </p><p class="ql-block"><b> 21</b>世紀(jì)俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里 ? 佩雷爾曼在 <b>2002</b>年11月和 <b>2003</b>年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里 ? 佩雷爾曼發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱證明了幾何化猜想。在佩雷爾曼之后，先后有 <b>3組 </b>研究者發(fā)表論文補(bǔ)全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細(xì)節(jié)。這包括密歇根大學(xué)的布魯斯 ? 克萊納和約翰 ? 洛特；哥倫比亞大學(xué)的約翰 ? 摩根和麻省理工學(xué)院的田剛；以及<b>理海大學(xué)</b>的<b>曹懷東</b>和<b>中山大學(xué)</b>的<b>朱熹平</b>。</p><p class="ql-block"> <b>2006</b>年8月，第<b>25屆</b>國際數(shù)學(xué)家大會(huì)授予佩雷爾曼菲爾茲獎(jiǎng)，但佩雷爾曼拒絕接受該獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。 </p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">四、黎曼猜想</b></p> <p class="ql-block"> 黎曼猜想由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德 ? 黎曼于 <b>1859年</b>提出。它是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又著名的未解決的問題 (猜想界皇冠)。</p><p class="ql-block"> 多年來它吸引了許多出色的數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁。<b>1901年 </b>Helge von Koch 指出，黎曼猜想與強(qiáng)條件的素?cái)?shù)定理等價(jià)。</p><p class="ql-block"> 現(xiàn)在已經(jīng)驗(yàn)證了最初的 <b>1500000000</b> 個(gè)素?cái)?shù)對這個(gè)定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明。 </p><p class="ql-block"> 黎曼猜想所以被認(rèn)為是當(dāng)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的問題，主要是因?yàn)楹芏嗌钊牒椭匾臄?shù)學(xué)和物理結(jié)果都能在它成立的大前提下被證明。大部分?jǐn)?shù)學(xué)家也相信黎曼猜想是正確的 (約翰 ? 恩瑟 ? 李特爾伍德與塞爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格于晚年部分改變了他的懷疑立場。在 <b>1989年</b>的一篇論文中，他猜測黎曼猜想對更廣泛的一類函數(shù)也應(yīng)當(dāng)成立。) 克雷數(shù)學(xué)研究所設(shè)立了 <b>$1000000美元</b>的獎(jiǎng)金，給予第一個(gè)得出正確證明的人。</p> <p class="ql-block"><b>歷史研究</b></p> <p class="ql-block"> 黎曼 <b>1859年</b>在他的論文中提及了這個(gè)著名的猜想，但它并非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道 <b>ζ</b>函數(shù)的不平凡零點(diǎn)對稱地分布在直線 <b>s = ? + it </b>上，以及他知道它所有的不平凡零點(diǎn)一定位于區(qū)域 <b>0 ≤ Re(s) ≤ 1</b>中。 </p><p class="ql-block"><b> 1896年</b>，雅克·阿達(dá)馬和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分別獨(dú)立地證明了在直線 <b>Re(s) = 1</b> 上沒有零點(diǎn)。連同了黎曼對于不非凡零點(diǎn)已經(jīng)證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點(diǎn)一定處于區(qū)域 <b>0 < Re(s) < 1</b> 上。這是素?cái)?shù)定理第一個(gè)完整證明中很關(guān)鍵的一步。 </p><p class="ql-block"><b> 1900年</b>，大衛(wèi) ? 希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的 <b>23條</b>問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第 <b>8號(hào)</b>問題。同時(shí)黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個(gè)被收入克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年大獎(jiǎng)數(shù)學(xué)難題的。</p><p class="ql-block"> 希爾伯特曾說，如果他在沉睡 <b>1000年</b>后醒來，他將問的第一個(gè)問題便是：黎曼猜想得到證明了嗎？[1] <b>1914年</b>，高德菲 ? 哈羅德 ? 哈代證明了有無限個(gè)零點(diǎn)在直線 <b>Re(s) = ? </b>上。</p><p class="ql-block"> 然而仍然有可能有無限個(gè)不平凡零點(diǎn)位于其它地方 (而且有可能是最主要的零點(diǎn))。后來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在 <b>1921年</b>及塞爾伯格在 <b>1942年</b>的工作 (臨界線定理) 也就是計(jì)算零點(diǎn)在臨界線 <b>Re(s) = ?</b> 上的平均密度。 </p><p class="ql-block"> 近年來的工作主要集中于清楚的計(jì)算大量零點(diǎn)的位置 (希望借此能找到一個(gè)反例) 以及對處于臨界線以外零點(diǎn)數(shù)目的比例置一上界 (希望能把上界降至零)。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">五、楊</b><b>－</b><b style="font-size: 20px;">米爾斯存在性與質(zhì)量間隙</b></p> <p class="ql-block"> “楊－米爾斯規(guī)范場論與質(zhì)量間隙” 是理論物理中規(guī)范場論的一道基礎(chǔ)問題，必須在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明楊 - 米爾斯場論存在 (即需符合構(gòu)造性量子場論的標(biāo)準(zhǔn))，亦要證明它們有質(zhì)量間隙，即模型所預(yù)測的最輕單粒子態(tài)為正質(zhì)量。</p><p class="ql-block"><b> 2000年</b>，克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞各一百萬元的數(shù)學(xué)七大千禧年難題，其中一道題為 “楊－米爾斯規(guī)范場論同質(zhì)量間隙”。</p> <p class="ql-block"> 背景 我們所知多數(shù)非凡 (nontrivial) ——即有相互作用——的<b>四維量子場論</b>皆有 <b>cutoff scale</b> 的有效場論。因多數(shù)模型的 <b>beta- </b>函數(shù)是正的，似乎大多數(shù)這類模型皆有一支 <b>Landau pole</b>，因我們完全不清楚它們有沒有非凡紫外定點(diǎn)。</p><p class="ql-block"> 故此，若每一 <b>scale</b>上皆定義有這樣的量子場論 <span style="font-size: 15px;">[</span><b style="font-size: 15px;">注 1</b><span style="font-size: 15px;">]</span>，它只可能為單純的自由場論。 然而，有不可交換結(jié)構(gòu)群的楊-米爾斯理論 (無夸克) 例外。它有一種性質(zhì)稱為漸近自由，指它有一單純的紫外定點(diǎn)。因此，我們可以寄望它成為非凡的構(gòu)造性 (constructive) 四維量子場模型。 不交換群 <b>Yang-Mills</b> 理論的色禁閉性已有符合理論物理嚴(yán)謹(jǐn)性的證明，但未有符合數(shù)理物理嚴(yán)謹(jǐn)性的證明 <span style="font-size: 15px;">[</span><b style="font-size: 15px;">注 3</b><span style="font-size: 15px;">]</span>。基本上，換言之，過了 <b>QCD</b> 尺度 (或者這里應(yīng)稱為禁閉尺度，因?yàn)闊o夸克)，那些色荷粒子被色動(dòng)力學(xué)的 “流管” 連著，所以粒子間有線性勢 (<b>“弦” 張力 x 長度</b>)。所以膠子之類自由賀粒子不可能存在。若沒有這些禁閉效應(yīng)，我們應(yīng)見到零質(zhì)量的膠子；但因它們被禁閉，我們只見到不帶色荷的膠子束綁態(tài)——膠波。凡膠波皆質(zhì)量，所以我們期望質(zhì)量間隙。 格點(diǎn)規(guī)范場論的結(jié)果令不少工作者相信，這個(gè)模型真的有禁閉現(xiàn)象 (由 <b>Wilson</b> 圈的真空期望值的下降的 “面積規(guī)律” (<b>area law</b>) 看出)，但這項(xiàng)結(jié)果還沒有符合數(shù)學(xué)的嚴(yán)慬性。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">六、納維-斯托克斯存在性與光滑性</b></p> <p class="ql-block"> 納維－斯托克斯存在性與光滑性是有關(guān)納維－斯托克斯方程其解的數(shù)學(xué)性質(zhì)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，是美國克雷數(shù)學(xué)研究所在 <b>2000年</b>提出的 7個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題中的一個(gè)問題。 </p><p class="ql-block"> 納維－斯托克斯方程是<b>流體力學(xué)</b>的重要方程，可以描述空間中流體 (液體或氣體) 的運(yùn)動(dòng)。納維－斯托克斯方程的解可以用到許多實(shí)務(wù)應(yīng)用的領(lǐng)域中。不過對于納維－斯托克斯方程解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程的解常會(huì)包括紊流。雖然紊流在科學(xué)及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學(xué)問題之一。 許多納維－斯托克斯方程解的基本性質(zhì)都尚未被證明。</p><p class="ql-block"> 例如：數(shù)學(xué)家就尚未證明在三維坐標(biāo)，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這様?shù)慕獯嬖跁r(shí)，其動(dòng)能有其上下界，這就是 “納維－斯托克斯存在性與光滑性” 問題。 </p><p class="ql-block"> 由于了解納維－斯托克斯方程被視為是了解難以捉摸的紊流現(xiàn)象的第一步，克雷數(shù)學(xué)研究所在 <b>2000年5月</b>提供了美金一百萬的獎(jiǎng)金給第一個(gè)提供紊流現(xiàn)象相關(guān)信息的人，而不是給第一個(gè)創(chuàng)建紊流理論的人?；谏鲜龅南敕ǎ死讛?shù)學(xué)研究所設(shè)定了以下具體的數(shù)學(xué)問題。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 18px;">部分結(jié)果</b></p> <p class="ql-block"> 二維空間下的納維－斯托克斯問題已在 <b>1960年代得證</b>：存在光滑及全局定義解的解。 </p><p class="ql-block"> 在初速 <b>05</b><span style="font-size: 15px;">[4]</span> 相當(dāng)小時(shí)此問題也<b>已得證</b>：存在光滑及全局定義解的解。</p><p class="ql-block"> 若給定一初速 <b>06</b><span style="font-size: 15px;">[6]</span>，且存在一有限、依 <b>06</b><span style="font-size: 15px;">[7]</span> 而變動(dòng)的時(shí)間 <b>T</b>，使得在 <b>07</b><span style="font-size: 15px;">[4]</span> 的范圍內(nèi)，納維<span style="font-size: 18px;">－</span>斯托克斯方程有平滑的解，還無法確定在時(shí)間超過 <b>T</b> 后，是否仍存在平滑的解。 數(shù)學(xué)家<b>讓 ? 勒雷</b>在 <b>1934年</b>時(shí)證明了所謂納維-斯托克斯問題弱解的存在，此解在平均值上滿足<b>納維</b><b style="font-size: 18px;">－</b><b>斯托克斯</b>問題，但無法在每一點(diǎn)上滿足。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">七、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想</b></p> <p class="ql-block"> 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，簡稱為 <b>BSD</b> 猜想。那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。</p><p class="ql-block"> 事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù) <b>z(s)</b> 在點(diǎn) <b>s=1</b> 附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果 <b>z(1)</b> 等于 <b>0</b>，那么存在無限多個(gè)有理點(diǎn) (解)。</p> <p class="ql-block"> 相反，如果 <b>z(1)</b> 不等于 <b>0</b>。那么只存在著有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。 </p><p class="ql-block"> 我確實(shí)看不懂這世界七大數(shù)學(xué)難題是什么東西，我想大多數(shù)人也和我一樣，根本不知道這講的是什么，還是期待那些個(gè)神人去解答這些問題吧。</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">數(shù)學(xué)腦筋急轉(zhuǎn)彎 1:</b></p><p class="ql-block"> 有 <b>3個(gè)人</b>去吃麵條，三碗<b>30元</b>， 三個(gè)人每人掏了 <b>10元</b>湊夠 <b>30元</b>交給了老闆。 後來老闆說今天優(yōu)惠滿 <b>30元</b>減 <b>10元</b>，拿出 <b>10元</b>讓服務(wù)生退還給他們，服務(wù)生偷偷藏起了 <b>4元</b>，然後，把剩下的 <b>6元</b>錢分給了那三個(gè)人，每人 分到 <b>2元</b>。 這樣，一開始每人掏了<b>10元</b>，現(xiàn)在又退回 <b>2元</b>，也就是：</p><p class="ql-block"><b> 10-2=8</b>，每人只花了 <b>8元</b>錢，</p><p class="ql-block"><b>3個(gè)人</b>每人 <b>8元</b>，</p><p class="ql-block"><b> 3</b>x<b>8=24</b>元<b>+</b>服務(wù)生藏起的<b>4元=28元,</b></p><p class="ql-block"> 還有 <b>2元</b>錢去了哪裡??? 此題在全世界曾引起巨大反響。 求解答！</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">解 答：</b></p><p class="ql-block"> 難題說不上，防止老年癡呆是有益的。<b>24元</b>已經(jīng)包括服務(wù)員提取的 <b>4元</b>了，不能 <b>24元</b>再加 <b>4元</b>了！<b>4元</b>也是 <b>30元</b>里的一部分。</p><p class="ql-block"> <b>30=20+4+6</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;">數(shù)學(xué)腦筋急轉(zhuǎn)彎 2</b></p><p class="ql-block"> 小明向爸爸借了 ￥500塊錢。向媽媽借了 ￥ 500塊錢，這就1000塊錢了，然后他去買了一雙鞋，花了 ￥970塊錢，還剩下 ￥30塊錢，他還了 ￥10塊錢給爸爸。還了 ￥10塊錢給媽媽，自己留下了 ￥10塊錢，這么算來，他現(xiàn)在欠爸爸 ￥490塊錢，欠媽媽的￥490塊錢，那 ￥490 加上 ￥490 再加自己手里麗 ￥10 塊錢，等于 ￥990 塊錢，</p><p class="ql-block"> ￥490 + ￥490 + ￥10 = ￥990</p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;"> 但小明當(dāng)時(shí)借了 ￥1000塊錢，還有 ￥0 塊錢哪去了？</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">?</span></p><p class="ql-block"><b>解 答：</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;"> 這題目岀的弱智，</span>實(shí)際借了 ￥980，減買鞋 ￥970，剩 ￥10塊。</p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;"> ￥980 - ￥970 = ￥10</span></p><p class="ql-block"><b> ￥980 是欠款，￥</b>10元是 ￥980 - ￥970 借出來的錢花剩下的，與債務(wù) ￥980 不是同一概念。</p><p class="ql-block"> ￥1000 = ￥970 + ￥10 + ￥10 + ￥10</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"> 各借500共 ￥1000，花了 ￥970，</p><p class="ql-block"> ￥970÷2＝￥485，</p><p class="ql-block"> 也就是說一雙鞋爸媽各自出￥485，還各自還回 ￥10，就是爸媽各自 495，兩個(gè)人共 ￥990，加上小明手里的 ￥10塊不就是剛好 ￥1000。</p><p class="ql-block"> (<span style="font-size: 18px;">￥970 ÷ 2 + ￥10) x 2 + ￥10</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;"> = ￥495 x 2 + ￥10</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;"> = ￥1000</span></p><p class="ql-block"> 這個(gè)題目其實(shí)的表面數(shù)字忽悠了，換一種算法不就對了嗎！</p> <p class="ql-block"><b>最簡單的方法：</b></p><p class="ql-block">抓住文字重點(diǎn)：</p><p class="ql-block"> 借了 ￥1000，買鞋 ￥970，</p><p class="ql-block"> 還了 ￥20，余下 ￥10 (自己)。</p><p class="ql-block"><b>入</b>：￥1000</p><p class="ql-block"><b>出</b>：1. ￥970買鞋 2. ￥20 歸還</p><p class="ql-block"><b>余</b>：￥10</p><p class="ql-block"> <b>￥1000 = ￥970 + ￥20 + ￥10</b></p>