<p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 考場(chǎng)上的解題招術(shù)招法，立足于平時(shí)對(duì)答題手法的謀略性、創(chuàng)意性、模型性、批判性及通性通法等思考的啟悟和保存；來(lái)自于平時(shí)就破解了的一些問(wèn)題情景特征的領(lǐng)悟、積累；輸出于“抄襲”平時(shí)就破譯了的解析來(lái)路、思路，出路密碼，從而從容笑對(duì)那絕不是玄奧的考題。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 本文，以2022年重慶中考的壓軸題為材料，通過(guò)透視命題老師的解題密碼箱，“抄襲”那些普通而又美妙的數(shù)學(xué)思想方法，享受一次有麻辣味的重慶“小面思維餐”，過(guò)一次“抄襲”解題招術(shù)招法的樂(lè)趣之癮。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">A卷考題呈現(xiàn)：如圖,在銳角△ABC中，∠A=60°,點(diǎn)D, E分別是邊AB, AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CD于點(diǎn)F.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">(1)如圖1,若AB＞AC,且BD=CE,∠BCD=∠ CBE,求∠CFE的度數(shù);</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">(2)如圖2,若AB=AC,且BD=AE,在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段CM,連接MF,點(diǎn)N是MF的中點(diǎn),連接CN .在點(diǎn)D, E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段BF,CF,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">(3)若AB=AC,且BD=AE,將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP,點(diǎn)H是AP的中點(diǎn),點(diǎn)K是線段PF上一點(diǎn),將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK,連接PQ .在點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)線段PF取得最小值,且QK⊥PF時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出PQ：BC的值.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">問(wèn)題(1) </span>認(rèn)識(shí)到待求∠CFE與條件∠A=60°，分別是四邊形ADEF的外角和內(nèi)對(duì)角,則直覺(jué)四邊形ADFE是外角等于內(nèi)對(duì)角（也即對(duì)角互補(bǔ)）的特殊四邊形.于是，猜想四邊形ADFE的外角∠CFE=∠A=60°. 那么，<span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:22px;">證得另一組外角與內(nèi)對(duì)角∠CEF=∠ADF得解.</span></p><p class="ql-block">注意到已知等角∠BCD=∠CBE的兩頂點(diǎn)，是一條線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)，則<span style="color:rgb(57, 181, 74);">可鎖定二個(gè)相等的邊角條件</span>：∠BCD=∠CBE,BC=CB.于是，“抄襲”<span style="color:rgb(237, 35, 8);">構(gòu)造全等三角形“鎖定二等，再添一等”的基本謀略，</span>添加輔助線造型、導(dǎo)角.</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">?解法一：</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);"> 鎖定二等，再添直角，構(gòu)造全等.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;">解法二：</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;"> 鎖定二等，以一個(gè)三角形為模特構(gòu)造全等.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;">解法三：鎖定二等，以△BCD為模特，改造△CBE造全等.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">反思：鎖定二等，選擇模特，仿造一等，是構(gòu)造全等三角形的基本謀略.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">問(wèn)題(2)</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 首先擴(kuò)展信息條件，辨識(shí)基本圖形，發(fā)現(xiàn)基本模型，感受存在什么題根母題的觀察思考：</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">觀察思考①</span><span style="font-size:20px;"> 認(rèn)識(shí)到A=60°，AB=AC時(shí),△ABC是等邊三角形，則由等邊△ABC三角形兩條邊上的BD=AE,認(rèn)識(shí)到有“靠邊全等三角形”的題根,于是，“抄襲”命題者命制此類(lèi)試題的“靠邊全等三角形思維密碼”，遠(yuǎn)見(jiàn)到等邊△ABC內(nèi)的四邊形ADFE是外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 如此觀察思考“靠邊全等或相似”三角形的通性通法，在解答今年重慶中考第9題的</span><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">十字架型態(tài)</span><span style="font-size:20px;">考題時(shí)，也應(yīng)“抄襲”運(yùn)用.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;"> 所以，</span><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">正方形的十字架結(jié)構(gòu)，</span><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">也有同理、同樣的隱性深層知識(shí)：</span><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">四邊形CDPE是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187);">觀察思考②</span> 由線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段CM的信息，意識(shí)到有CB=CM，且頂角∠BCM=60°+60°=120°的隱性等腰△CMB；</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187);">觀察思考③</span> 直覺(jué)三線BF,CF,CN存在和差數(shù)量關(guān)系.則設(shè)法將其中的一條線段“一分為二”或者將其中的兩條線段“合二為一”.</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187);">觀察思考④ </span>因探究線段中的CN一端點(diǎn)N，是線段MF的中點(diǎn)，另一端點(diǎn)C和點(diǎn)M，是隱性等腰△CMB的頂點(diǎn).則“抄襲”等腰三角形頂角頂點(diǎn)是隱性中點(diǎn)的解題密碼，透視到<span style="color:rgb(57, 181, 74);">CN是隱性的三角形中位線.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 問(wèn)題（2）的上述四個(gè)解法，“抄襲”的都是常見(jiàn)常用的基本解題謀略和基本的招術(shù)招法，其解析主旋律是：</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">辯識(shí)靠腰三角形，構(gòu)造手拉手模型</span><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">和</span><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">發(fā)現(xiàn)、利用隱性的中位線。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> </span><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">此問(wèn)</span><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">還可”抄襲”構(gòu)造等邊三角形將兩線段“合二為一”的招術(shù)，同時(shí)“抄襲”加倍中線；或造中位線的招法，然后證明形成的全等三角形或相似三角形得解。多多的解法，后面，再簡(jiǎn)述幾法。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;"> </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">?</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> </span><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">解答問(wèn)題（3），可以“抄襲”哪些基礎(chǔ)性的解析方法?</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 認(rèn)識(shí)到是在線段PF取得最小值時(shí)的求值問(wèn)題，則“抄襲”解決此類(lèi)問(wèn)題的謀略：</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">先確定最值型態(tài)，再根據(jù)最值型態(tài)計(jì)算求值. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);"> 觀察思考是什么類(lèi)型的最值問(wèn)題？</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">數(shù)學(xué)心：</span><span style="font-size:20px;">因?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)F始終是∠BFC=120°的定角頂點(diǎn)，則呈現(xiàn)出定角∠BFC對(duì)定參數(shù)邊BC的情景.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">∵從動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是隱圓上的圓弧.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> “抄襲”確定此類(lèi)隱圓圓心的解碼，得知隱圓的圓心在BC的下方，且是頂角為120°的等腰△OBC頂點(diǎn)O.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">∴</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">點(diǎn)F的軌跡是如圖所示的紅色圓弧.</span></p> <p class="ql-block"> 因?yàn)樽钪稻€段PF的端點(diǎn)P，是△ABC沿直線AB翻折后所得△ABP的頂點(diǎn)，則點(diǎn)P是菱形APBC的定頂點(diǎn).</p><p class="ql-block">所以，<span style="color:rgb(57, 181, 74);">是定點(diǎn)到定圓弧上一動(dòng)點(diǎn)的最小值類(lèi)問(wèn)題 </span><span style="color:rgb(1, 1, 1);">.那么，</span><span style="color:rgb(237, 35, 8);">當(dāng)P、F、O三點(diǎn)共線時(shí)</span><span style="color:rgb(57, 181, 74);">，</span><span style="color:rgb(237, 35, 8);">PF取得最小值.</span></p> <p class="ql-block"> 觀察到PK、KH、GH分別是斜△HPK的邊和高，則意識(shí)到解斜△HPK可得解.</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">如何解斜△HPK？</span></p><p class="ql-block"> 因斜△HPK中，∠PKH=45°，且可設(shè)一條參數(shù)邊，則<span style="color:rgb(237, 35, 8);">還需一個(gè)條件，斜△HPK才可解.</span></p><p class="ql-block"> “抄襲”<span style="color:rgb(57, 181, 74);">解斜三角形，邊角條件不夠，三角函數(shù)或邊比關(guān)系來(lái)相助</span>的謀略，注意到∠HPK也是△APO的內(nèi)角，于是連接AO,由易知的直角△APO，計(jì)算tan∠APO的值,得tan∠HPK的值.</p><p class="ql-block"> 或通過(guò)Rt△GPH∽R(shí)t△APO，由Rt△APO可得的三邊比關(guān)系，得Rt△GPH的三邊比關(guān)系.</p> <p class="ql-block"> 對(duì)本壓軸題美妙的問(wèn)題（2），再簡(jiǎn)約講述十個(gè)解法.</p><p class="ql-block">思路來(lái)路主旋律一：<span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">兩線合一</span><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;">十</span><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:18px;">倍長(zhǎng)中線或造中位線</span><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;">十</span><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:18px;">全等或相似三角形</span></p><p class="ql-block"> 先立足于“抄襲”將兩線“合二為一”的謀略，作等邊△CFP，得到線段BP=BF+FP=BF+CF后，再?gòu)狞c(diǎn)N是MF中點(diǎn)的條件出發(fā)，“抄襲”倍長(zhǎng)中線或者造中位線的技法，通過(guò)共頂點(diǎn)角的加減和平行線導(dǎo)得等角，建構(gòu)全等三角形通道或相似三角形通道求解.</p> <p class="ql-block">反思：倍長(zhǎng)中線CN為CG后，應(yīng)意識(shí)到能生成平四形CMGF. 法一、法二實(shí)際上是分別利用了該平四形被對(duì)角線CG分割的某一個(gè)三角形，所以，解析方法是同理、同樣的，是可抄襲的.</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">思路來(lái)路主旋律二</span>：<span style="color:rgb(237, 35, 8);">倍長(zhǎng)中線</span><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:22px;">+</span><span style="color:rgb(237, 35, 8);">全等三角形</span><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:22px;">+</span><span style="color:rgb(237, 35, 8);">等邊三角形</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74);">思路來(lái)路主旋律三：</span><span style="color:rgb(237, 35, 8);">造中位線，構(gòu)造對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，用最本手的模型思路、出路求解.</span></p><p class="ql-block"> 由線段CN的端點(diǎn)N是線段MF的中點(diǎn)，端點(diǎn)C是等腰△CMB的頂點(diǎn)，得知點(diǎn)C是隱性中點(diǎn).則透視到線段CN是隱性的中位線,那么，延長(zhǎng)MC至P，使CP=MC，連接FP，由NP=NF，得CN是△MCF的中位線，</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">∴FP=2CN ①，</span></p><p class="ql-block">此時(shí)，∵∠BCP=180°-∠BCM</p><p class="ql-block"> =180°-120°=60°，</p><p class="ql-block"> 又CB=CA=CM=CP，</p><p class="ql-block">∴同時(shí)生成的<span style="color:rgb(176, 79, 187);">△CBP是等邊三角形</span>.</p><p class="ql-block">則認(rèn)識(shí)到問(wèn)題可<span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">轉(zhuǎn)化為探究碰頭三線FB、FC、FP的數(shù)量關(guān)系.</span></p> <p class="ql-block"> 在碰頭三線FB、FC、FP的四個(gè)端點(diǎn)F、B、P、C構(gòu)成的四邊形FBPC中，</p><p class="ql-block">∵∠BPC=60°，∠BFC=120°，</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">∴四邊形FBPC是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形（也即外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形）</span>.<span style="font-size:18px;"> </span></p><p class="ql-block"> 又PB=PC</p><p class="ql-block">則辯識(shí)到四邊形FBPC是<span style="color:rgb(57, 181, 74);">一組鄰邊相等</span>的<span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">對(duì)角互補(bǔ)</span><span style="font-size:20px;">四邊形.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> 因?yàn)?lt;/span><span style="font-size:18px; color:rgb(237, 35, 8);">這是一個(gè)非?；A(chǔ)的幾何模型.</span>則熟練地“抄襲”“<span style="color:rgb(237, 35, 8);">碰頭三線思旋轉(zhuǎn)”的基本謀略一</span>，<span style="color:rgb(57, 181, 74);">構(gòu)造“手拉手模型”</span>，得</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">以將兩線“合二為一”的基本謀略二，得</span></p> <p class="ql-block">反思：?jiǎn)栴}（2）的上述14個(gè)解法，既有謀略、思路的共通性，又有從不同觀察思考角度催生的，有所變異的來(lái)路和出路。但它們都來(lái)自于那些基礎(chǔ)性的解題思想方法，都來(lái)自于基本模型的邏輯思維。更多略有變異的解法，不再累述。僅再<span style="color:rgb(22, 126, 251);">提示一個(gè)本手的解析出路：抓住</span><span style="color:rgb(57, 181, 74);">一組鄰邊相等</span><span style="color:rgb(22, 126, 251);">的</span><span style="color:rgb(237, 35, 8);">對(duì)角互補(bǔ)</span><span style="color:rgb(22, 126, 251);">四邊形PBFC，抄襲旋轉(zhuǎn)思路：將</span><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;">FC（</span><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">或FB）</span><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;">繞點(diǎn)F順時(shí)針</span><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">（或逆時(shí)針）</span><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;">旋轉(zhuǎn)60°，構(gòu)造“手拉手模型”得解.</span></p> <p class="ql-block"> 2022年重慶中考A、B姊妹卷的壓軸題，其試題背景都是給出一個(gè)顯性的等腰三角形，再給出一個(gè)由線段旋轉(zhuǎn)生成的等腰三角形和一條線段的中點(diǎn)，以“兩等腰三角形+線段中點(diǎn)”為條件的主基調(diào)，設(shè)置探究三條線段數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題（2）；然后設(shè)置一個(gè)翻折三角形的情景，計(jì)算一條線段的最小值或與之相關(guān)的求值問(wèn)題（3）.所以，解析兩卷壓軸題的添線構(gòu)型思維主旋律，是可以相互“抄襲”的。即解答A、B兩卷的技法技術(shù)是相通的。那些解析B卷壓軸題的同理、同樣而又稍有變遷的思路、出路，見(jiàn)下篇文檔，《用模型招術(shù)解22年的重慶B卷壓軸題》</p>