小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類自學(xué)系列輔導(dǎo)(八.和差問(wèn)題)

海闊天空

文字：海闊天空圖片：源于現(xiàn)行教科書(shū)封面和插圖? 　　一.系列輔導(dǎo)的原由和目的 因?yàn)?lt;/span>《小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類自學(xué)系列輔導(dǎo)》是陸續(xù)撰寫(xiě)和分享的，所以我在“系列輔導(dǎo)一.倍數(shù)問(wèn)題”一文中用了2014個(gè)文字將分類自學(xué)系列輔導(dǎo)的原由和目的已經(jīng)闡述過(guò)了，在此不必再敘。本篇主要進(jìn)行第八類和差問(wèn)題的方法總結(jié)和精選8題的思路分析和詳解過(guò)程。 　二.和差問(wèn)題方法總結(jié)和差問(wèn)題是指已知兩個(gè)同類量的和與差求這兩個(gè)量的大小，這個(gè)問(wèn)題是在談?dòng)懥恕?lt;/span>倍數(shù)問(wèn)題”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。求解公式是： (1) 大量=(和+差)÷2 (2) 小量=(和-差)÷2 (3)大量+小量=和(及其變形) (4)大量-小量=差(及其變形)已知兩個(gè)同類量的和與差時(shí)，如果給這個(gè)和加上這個(gè)差就變成大量的二倍了，如果給這個(gè)和減去這個(gè)差就變成小量的二倍了，知道了2倍量，再求1倍量那就變成比較簡(jiǎn)單的倍數(shù)問(wèn)題了，即幾倍量÷幾倍的幾=1倍量，這就是對(duì)求解公式(1)和(2)的真正理解。知道兩個(gè)同類量的和與差可以直接用公式套，但在數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題中一般都不是現(xiàn)成的和與差，往往是只給和與差中的某一個(gè)甚至兩個(gè)都不直接給出，這就需要先變通得到，才能再用公式。倍數(shù)問(wèn)題中求解公式幾倍量÷幾倍的幾=1倍量，這個(gè)關(guān)系式在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中可以說(shuō)是最重要的一個(gè)，在利用同倍量、數(shù)倍量、和倍量、差倍量等解決問(wèn)題時(shí)都要用到這個(gè)關(guān)系式，務(wù)必深刻理解、爛熟于心。和差問(wèn)題無(wú)論是傳統(tǒng)的還是現(xiàn)代的各類考試題可以說(shuō)是出現(xiàn)概率偏多的，特別是奧數(shù)題目，但遺憾的是我翻遍了3—6四個(gè)年級(jí)的8冊(cè)教科書(shū)，僅僅只找到了四年級(jí)上冊(cè)68頁(yè)第8題1道和差問(wèn)題的題目。所以精選9題中大部分都是我自編的，實(shí)在無(wú)法采納教科書(shū)上原題。 為了重點(diǎn)突出用算術(shù)法列式計(jì)算解決問(wèn)題，在精選9題的思路分析和詳解過(guò)程中對(duì)用列解方程解決問(wèn)題暫不涉及。　　 　　三.和差問(wèn)題精選9題1.哥哥和弟弟今年共56歲，哥哥比弟弟大4歲，問(wèn)哥哥、弟弟今年各是多少歲？題意分析：這個(gè)題目是“和差問(wèn)題”中最簡(jiǎn)單的，只需直接應(yīng)用關(guān)系式就行了，但怎樣才能真正理解這求大量和小量的關(guān)系式呢？實(shí)際上如果讓弟弟增加4歲就跟哥哥一樣大了，即56+4應(yīng)是哥哥年齡的2倍；如果讓哥哥減少4歲也就跟弟弟一樣大了，即56-4應(yīng)是弟弟年齡的2倍，知其2倍量求1倍量，方法顯而易見(jiàn)，這就是對(duì)“和差問(wèn)題”關(guān)系式的真正理解。解：(1)哥哥年齡為： (56+4)÷2=60÷2=30(歲) (2)弟弟年齡為： (56-4)÷2=52÷2=26(歲)或 56-30=26(歲)答：哥哥今年30歲，弟弟今年26歲。說(shuō)明： 1.本題很簡(jiǎn)單和很基本，完全可以直接列式計(jì)算，但通過(guò)本題的詳盡分析再求解主要是對(duì)基本數(shù)量關(guān)系的真正理解。 2.實(shí)際上在現(xiàn)實(shí)中大多題目并非能直接告訴同類二量的和與差，都要先變通，知道了同類二量的和與差才能再用關(guān)系式求解。 3.如果知道了兩數(shù)和與兩數(shù)差求兩數(shù)也可先畫(huà)線段圖，后列式先求出小數(shù)再求大數(shù)。 2.淘氣正在讀一本281頁(yè)的故事書(shū)，不小心合上了，他記得剛讀完的連續(xù)兩頁(yè)頁(yè)碼之和是81。(四年級(jí)上冊(cè)68頁(yè)第8題)(1)淘氣剛讀完的兩頁(yè)頁(yè)碼分別是多少？(2)這本故事書(shū)還剩多少頁(yè)沒(méi)讀？(3)如果淘氣每天讀20頁(yè)，剩下的幾天能讀完？題意分析： 仔細(xì)讀題可知，這個(gè)題目是個(gè)“和差問(wèn)題”，兩頁(yè)碼數(shù)之和是81，兩頁(yè)碼數(shù)之差是1，直接應(yīng)用“和差問(wèn)題”關(guān)系式求解即可。解：(1)兩頁(yè)中后頁(yè)碼數(shù)為： ( 81+1)÷2=82÷2=41 兩頁(yè)中前也碼數(shù)為： (81-1)÷2=80÷2=40 (2)還剩的頁(yè)數(shù)為： 281-41=240(頁(yè)) (3)讀完剩下頁(yè)數(shù)需要天數(shù)為： 240÷20=12(天)答：(1)淘氣剛讀完的兩頁(yè)頁(yè)碼分別是40和41。(2)這本故事書(shū)還剩240頁(yè)沒(méi)讀。(3)淘氣每天讀20頁(yè)剩下的12天可讀完。說(shuō)明：本題所給條件不需先變通，只需按部就班套公式就可以了。 3.長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為36厘米，長(zhǎng)比寬多4厘米，求長(zhǎng)方形面積。題意分析： 要求長(zhǎng)方形的面積，需先求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為36厘米可得長(zhǎng)寬之和為18厘米，又知長(zhǎng)寬之差為4厘米，這仍是個(gè)“和差問(wèn)題”，可套公式先求長(zhǎng)、寬，再求面積。解：(1)長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之和為： 36÷2=18(厘米) (2)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為： (18+4)÷2=22÷2=11(厘米) (3)長(zhǎng)方形寬為： (18-4)÷2=14÷2=7(厘米)或 11—4=7(厘米) (4)長(zhǎng)方形面積為： 11×7=77(平方厘米)答：長(zhǎng)方形的面積是77平方厘米。說(shuō)明：①在一個(gè)題目中，如果一提到長(zhǎng)方形長(zhǎng)或?qū)捠嵌嗌伲话愣家玫介L(zhǎng)、寬之和是多少繼續(xù)思考問(wèn)題，這是毫無(wú)疑問(wèn)的，又給了長(zhǎng)寬之差，自然而然應(yīng)該想到這是一個(gè)“和差問(wèn)題”。②在一個(gè)題目中，如果給了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少，首先應(yīng)該想到的是它的一半就是長(zhǎng)寬的和。 4.甲乙兩倉(cāng)庫(kù)共儲(chǔ)存稻谷120噸，從甲庫(kù)調(diào)走20噸還比乙?guī)於?噸，求甲乙兩倉(cāng)庫(kù)原有稻谷各多少噸？題意分析：本題中同類二量之和是120噸，同類二量之差應(yīng)是20+8=28噸。有了同類二量的和與差，就可以套公式了。解：(1)甲乙兩庫(kù)稻谷重量差為： 20+8=28(噸) (2)甲庫(kù)原有稻谷： (120+28)÷2=148÷2=74(噸) (3)乙?guī)煸械竟龋?lt;/span> (120-28)÷2=92÷2=46(噸)或 120-74=46(噸)答：甲庫(kù)原有稻谷74噸，乙?guī)煸械竟?6噸。說(shuō)明：(1)本題從第一句話就應(yīng)該朝“和差問(wèn)題”思考。(2)本題的重點(diǎn)是對(duì)“從甲庫(kù)調(diào)走20噸還比乙?guī)於?噸”的理解。(3)本題中從甲庫(kù)調(diào)走的20噸如果放到乙?guī)烊ミ€比乙?guī)於?噸的話，那么甲庫(kù)應(yīng)比乙?guī)於?0*2+8=48噸。題目這樣的變化完全是有可能的。 5.有一個(gè)班級(jí)男、女人數(shù)的平均數(shù)是28，男生人數(shù)較多，與女生相差恰是兩個(gè)閏年最小間隔數(shù)的2倍，求男、女各有多少人？題意分析：由男女生平均數(shù)是28很容易知道：男生+女生=28*2。由閏年最小間隔數(shù)也不難知道：男生-女生=4*2。問(wèn)題迎刃而解解：(1)男、女人數(shù)之和為： 28*2=56(人) (2)男、女人數(shù)之差為： 4 *2=8(人) (3)男生人數(shù)為： (56+8)÷2=64÷2=32(人) (4)女生人數(shù)為： ( 56-8)÷2=48÷2=24(人)或 32-4*2=32-8=24(人)答：男生有32人，女生有24人。說(shuō)明：①本題對(duì)男女人數(shù)的和與差都沒(méi)有直接給出，但一見(jiàn)到男女平均數(shù)，就應(yīng)馬上考慮到男女人數(shù)的和是多少，再細(xì)觀后面條件，馬上就能看出男女人數(shù)的差，問(wèn)題立即顯而易見(jiàn)。②本題除了對(duì)“和差問(wèn)題”的理解和掌握，還涉及到了平均數(shù)和關(guān)于閏年的知識(shí)。 6.甲乙兩個(gè)建筑工程隊(duì)共有246人，為了平衡兩隊(duì)技術(shù)和建造能力，從甲隊(duì)抽調(diào)20人到乙隊(duì)，兩隊(duì)人數(shù)剛好相等，求各隊(duì)原有多少人？題意分析1： 因?yàn)楝F(xiàn)有“甲隊(duì)人數(shù)+乙隊(duì)人數(shù)=246”，“從甲隊(duì)抽調(diào)20人到乙隊(duì)，兩隊(duì)人數(shù)剛好相等”，這句話的實(shí)質(zhì)是“20人只是兩隊(duì)相差人數(shù)的一半”，所以原來(lái)甲隊(duì)比乙隊(duì)要多20*2=40，即甲隊(duì)人數(shù)-乙隊(duì)人數(shù)=20*2。又能直接套用“和差問(wèn)題”數(shù)量關(guān)系式了。解：(1)甲、乙兩隊(duì)人數(shù)差為： 20*2=40(2)甲隊(duì)人數(shù)是： (246+40)÷2 =286÷2 =143(人)(3)乙隊(duì)人數(shù)是： (246-40)÷2=206÷2=103(人)或143- 20*2=143-40=103(人)答：甲隊(duì)有143人，乙隊(duì)有103人。說(shuō)明：(1)本題應(yīng)分是三步，第一步為變通差的關(guān)系。(2)本題的關(guān)鍵仍是對(duì)“從甲隊(duì)抽調(diào)20人到乙隊(duì)，兩隊(duì)人數(shù)剛好相等”這句話的真正理解。題意分析2：本題也可按“調(diào)配問(wèn)題”思考，要求各隊(duì)原有多少人，可先求甲隊(duì)調(diào)出后各隊(duì)人數(shù)，容易想到是246÷2=123(人)，所以甲隊(duì)原有人數(shù)為123+20=143(人)，乙隊(duì)原有人數(shù)為123-20=103(人)。(這個(gè)思路是我上三年級(jí)的孫女先想到的，我特意把這做為一種思路和解法補(bǔ)充了進(jìn)來(lái))。 7.某個(gè)同學(xué)在期末考試中，語(yǔ)數(shù)總分192分，語(yǔ)英總分184分，數(shù)英總分180分，求語(yǔ)數(shù)英三科各多少分？題意分析：本題有三個(gè)“關(guān)系句”，它們其實(shí)是三個(gè)等式：語(yǔ)+數(shù)=192，語(yǔ)+英=184，數(shù)+英=180，首先看到第一個(gè)等式是關(guān)于語(yǔ)數(shù)兩分?jǐn)?shù)之和，能不能得到關(guān)于語(yǔ)數(shù)兩分?jǐn)?shù)之差呢？自然需要細(xì)觀后兩個(gè)等式，容易發(fā)現(xiàn)，如果把后兩個(gè)等式，左右兩邊分別相減，可得語(yǔ)-數(shù)=4，已經(jīng)符合“和差問(wèn)題”的條件了，這樣可以先求出語(yǔ)、數(shù)兩科分?jǐn)?shù)，再用第二或第三個(gè)等式求英語(yǔ)分?jǐn)?shù)。解：由原題可得語(yǔ)數(shù)分?jǐn)?shù)之和為192分，之差為4分， (1)語(yǔ)文成績(jī)應(yīng)為： (192+4)÷2=196÷2=98(分) (2)數(shù)學(xué)成績(jī)應(yīng)為： (192-4)÷2=188÷2=94(分) (3)英語(yǔ)成績(jī)應(yīng)為： 184-98=86(分)或 180-94=86(分)答：語(yǔ)數(shù)英三科成績(jī)分別為98分、94分、86分。說(shuō)明： (1)本題的條件實(shí)際上是給了三個(gè)兩數(shù)之和，直接應(yīng)用第一個(gè)，再把另兩個(gè)按照一定的目標(biāo)和方向變通為所需的那一個(gè)，問(wèn)題就能迎刃而解。(2)對(duì)于后兩個(gè)關(guān)系句“語(yǔ)英總分184分，數(shù)英總分180分”也可這樣思考：因?yàn)閮蓚€(gè)關(guān)系句中英語(yǔ)分?jǐn)?shù)相同，又知第一個(gè)和比第二個(gè)和多了4分，所以自然可得語(yǔ)、數(shù)之差為4分。 8.買(mǎi)2個(gè)作業(yè)本和3支中性筆共花10.4元，買(mǎi)2支中性筆和3個(gè)作業(yè)本共花8.1元，那么買(mǎi)1個(gè)作業(yè)本和1支中性筆各花多少錢(qián)？題意分析： 本題是兩個(gè)等式：2本+3筆=10.4，2筆+3本=8.1，容易看出兩個(gè)等式左右分別相加可得5本+5筆=18.5，再給這個(gè)等式兩邊同除以5可得：1本+1筆=3.7，這已經(jīng)是要求的兩數(shù)之和了，再觀察最初兩個(gè)等式，如果把等式兩邊分別相減可得：1筆-1本=2.3有了這兩數(shù)之和與兩數(shù)之差就可以按部就班套公式了。解：由原題條件可知：筆+本=3.7，筆-本=2.3，由和差問(wèn)題公式可得： (1)中性筆的支數(shù)為： (3.7+2.3)÷2=6÷2=3(元) (2)作業(yè)本的本數(shù)為： (3.7-2.3)÷2=1.4÷2=0.7(元)答：買(mǎi)1支中性筆3元，買(mǎi)1個(gè)作業(yè)本0.7元。說(shuō)明：①本題看似跟“和差問(wèn)題“的條件差距很大，但只要能抓住所給條件的特點(diǎn)去破解，總可以一步一步接近“和差問(wèn)題”所需的“同類二量的和與差”，使問(wèn)題得到解決，這正是“系列輔導(dǎo)”與“思路分析和尋求問(wèn)題轉(zhuǎn)化途徑”所要突破的難題。①另一方面，本題在很大程度上應(yīng)是要憑經(jīng)驗(yàn)思考問(wèn)題。 9.城固縣考院小學(xué)在挑戰(zhàn)自我競(jìng)賽考試中，四年級(jí)某班張三和李四數(shù)學(xué)總分185分，后經(jīng)卷面審核又給李四加了5分結(jié)果還是比張三低了6分，求張、李二人最初得分多少？題意分析：要求最初張三和李四得分多少，需要首先知道最初張三和李四二人分?jǐn)?shù)的和與差，顯然兩分?jǐn)?shù)之和還是185分沒(méi)有改變，而兩分?jǐn)?shù)之差應(yīng)變?yōu)?+5=11(因?yàn)槔钏脑黾?分后，差已減少了5分，要還原到最初的差就要在現(xiàn)在差上再加上5才對(duì))。解：(1)最初張、李分?jǐn)?shù)差為： 6+5=11(分) (2)最初張三數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椋?lt;/span> (185+11)÷2=98(分) (3)最初李四數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椋?lt;/span> (185-11)÷2=87(分)或 185-98=87(分)答：最初張三得分為98分，李四得分為87分。說(shuō)明：1.如果要求張三和李四最終得分，那么只需把兩分?jǐn)?shù)之和變?yōu)?85+5=190(分)，而兩分?jǐn)?shù)之差還是6分，這時(shí)就可套公式了。2.這個(gè)題目是一個(gè)“和差問(wèn)題”中需要首先變通再套公式的典型例子，除了上面把求最初成績(jī)變化為求最終成績(jī)的變化外還有多種可能。比如：(1)在高分?jǐn)?shù)上再增加或減少。(2)在低分?jǐn)?shù)上再增加或減少。(3)同時(shí)在高分上減少，又在低分上增加。變化情況應(yīng)該還有，在此就不再一一列舉了。但無(wú)論是哪種情況的變化，都要結(jié)合后面要解決的問(wèn)題是“最初”還是“最終”仔細(xì)思考改變某一個(gè)成績(jī)會(huì)引起原來(lái)所給和與差會(huì)發(fā)生什么變化，一般都會(huì)改變兩數(shù)和與差中的一個(gè)，此類問(wèn)題好像有點(diǎn)費(fèi)解，但只要對(duì)本題真正理解了，萬(wàn)變不離其中。 上面9道“精選題”基本覆蓋了“和差問(wèn)題”基本題型和可能變化的不同情況，若能深刻理解和牢固掌握將為這個(gè)主要類型的應(yīng)用題典定了相當(dāng)扎實(shí)的基礎(chǔ)。 因本人在職期間一直從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)不是很熟，還得仔細(xì)鉆研，內(nèi)容順序也不是很清楚，因此在編擬本套“應(yīng)用題自學(xué)系統(tǒng)輔導(dǎo)”過(guò)程中難免會(huì)有不妥和疏漏之處，特別是先后順序安排需要跟現(xiàn)行教材相匹配，所以我把暫時(shí)擬定的目錄表提供出來(lái)，如果能有幸遇到同行和能者，誠(chéng)望提出寶貴意見(jiàn)，在此提前致謝！在此期間正好巧遇城固縣朝陽(yáng)小學(xué)方芳老師，在“各類精選題”目錄所涉及的內(nèi)容順序方面和提供教科書(shū)等給出了精心和寶貴的建議和提供了極大的方便，在此深表感謝！ 　　分類自學(xué)系列輔導(dǎo)目錄1.倍數(shù)問(wèn)題：2.倍比問(wèn)題：3.價(jià)格問(wèn)題：4.平均數(shù)問(wèn)題：5.等式變形問(wèn)題：6.歸一問(wèn)題：7.歸總問(wèn)題：8.和差問(wèn)題： 9.和倍問(wèn)題：10.差倍問(wèn)題：11.調(diào)配問(wèn)題：12.植樹(shù)問(wèn)題： 13.年齡問(wèn)題：14.盈虧問(wèn)題：15.買(mǎi)幾送幾問(wèn)題：16.方案選擇問(wèn)題：17.倒推還原問(wèn)題：18.排列組合問(wèn)題： 19.邏輯推理問(wèn)題：20.周期循環(huán)問(wèn)題：21.數(shù)字?jǐn)?shù)位問(wèn)題：22.鍋牛爬井問(wèn)題：23. 至多與至少問(wèn)題：24分率問(wèn)題： 25.打折問(wèn)題：26.貨幣兌換問(wèn)題： 27.按比例分配問(wèn)題：28.相遇問(wèn)題：29.追及問(wèn)題： 30.行船問(wèn)題：31.列車(chē)問(wèn)題： 32.環(huán)形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：33.工程問(wèn)題： 34.雞兔同籠問(wèn)題：35.時(shí)鐘問(wèn)題： 36.正反比例問(wèn)題：37.增減率問(wèn)題：38.百分?jǐn)?shù)問(wèn)題：39.利率問(wèn)題： 40.規(guī)律性問(wèn)題：41.液體倒出問(wèn)題.備注：1.上面彩色題目為已經(jīng)編擬后的篇目。2.分類情況有待繼續(xù)完善和增減。3.誠(chéng)望感興趣的同行和朋友提出寶貴意見(jiàn)。　 　??謝謝您的光臨與欣賞??