無心劍中譯邁克《代數(shù)的定義》

無心劍

math is the best languagethat we can use to communicatewith the omnipotent Godwe can use this magic languageto express the deepest secretof the universe beautifullywe can experienceeternal beautyin the world of math Definition of Algebra 代數(shù)的定義 Learning algebra is a little like learning another language. In fact,algebra is a simple language, used to create mathematical models of real-world situations and to handle problems that we can't solve using just arithmetic. Rather than using words, algebra uses symbols to make statements about things. In algebra, we often use letters to represent numbers. 學(xué)代數(shù)有點(diǎn)像學(xué)外語。實(shí)際上，代數(shù)是一種簡單的語言，用于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界建立數(shù)學(xué)模型，而且還用于處理一些僅用算術(shù)無法解決的問題。代數(shù)不是使用文字，而是使用符號(hào)來對(duì)事物進(jìn)行表述。我們?cè)诖鷶?shù)中常常用字母來代替數(shù)字。 Since algebra uses the same symbols as arithmetic for adding,subtracting, multiplying and dividing, you're already familiar with the basic vocabulary. 既然代數(shù)也跟算術(shù)一樣使用加減乘除符號(hào)，你已經(jīng)很熟悉這些基本詞匯了。 In this lesson, you'll learn some important new vocabulary words, and you'll see how to translate from plain English to the "language" of algebra. 這一課，你將學(xué)習(xí)一些新的重要詞匯，你將看到如何把日常用語翻譯成代數(shù)語言。 The first step in learning to "speak algebra" is learning the definitions of the most commonly used words. 學(xué)習(xí)"說代數(shù)"的第一步，就要學(xué)習(xí)這些最常用術(shù)語的定義。 代數(shù)式|變量|系數(shù)|常量|實(shí)數(shù)|有理數(shù)|無理數(shù)|把文字轉(zhuǎn)變?yōu)楸磉_(dá)式 Algebraic Expressions 代數(shù)式 An algebraic expression is one or more algebraic terms in a phrase. It can include variables, constants, and operating symbols, such as plus and minus signs. It's only a phrase, not the whole sentence, so it doesn't include an equal sign. 一個(gè)代數(shù)式是由一個(gè)或多個(gè)代數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的短語。它能包含變量、常量、運(yùn)算符，例如加號(hào)和減號(hào)。代數(shù)式只是短語，而非完整句子，因此它不包含等號(hào)。 Algebraic expression: 3x^2 + 2y + 7xy + 5 代數(shù)式：3x^2+ 2y + 7xy + 5 In an algebraic expression, terms are the elements separated by the plusor minus signs. This example has four terms, 3x^2, 2y, 7xy, and 5.Terms may consist of variables and coefficients, or constants. 在代數(shù)式中，"項(xiàng)"是基本元素，用加號(hào)或減號(hào)把各項(xiàng)分隔開。這個(gè)例子包含4項(xiàng)，3x^2,2y, 7xy, 與5。每一項(xiàng)可能包含變量，系數(shù)，或者常量。 Variables 變量 In algebraic expressions, letters represent variables. These letters are actually numbers in disguise. In this expression, the variables are x and y. We call these letters "variables" because the numbers they represent can vary—that is, we can substitute one or more numbers for the letters in the . 在代數(shù)式中，字母代表變量。這些字母實(shí)際上是偽裝的數(shù)字。在上述表達(dá)式中，變量是x和y。我們把這些字母稱為"變量"，是因?yàn)樗鼈儽硎镜臄?shù)字能夠變化——那就是說，我們能把不同的數(shù)字代入表達(dá)式中的字母。 Coefficients 系數(shù) Coefficients are the number part of the terms with variables. In 3x^2 + 2y + 7xy+ 5, the coefficient of the first term is 3. The coefficient of the second term is 2, and the coefficient of the third term is 7. 系數(shù)就是含變量項(xiàng)的數(shù)字部分。在表達(dá)式 3x^2 + 2y + 7xy + 5 中,第一項(xiàng)系數(shù)是3，第二項(xiàng)系數(shù)是2，第三項(xiàng)系數(shù)是7。 If a term consists of only variables, its coefficient is 1. 如果某項(xiàng)只包含變量，那么它的系數(shù)是1。 Constants 常數(shù)項(xiàng) Constants are the terms in the algebraic expression that contain only numbers. That is, they're the terms without variables. We call them constants because their value never changes, since there are no variables in the term that can change its value. In the expression 7x^2 + 3xy + 8 the constant term is "8." 常數(shù)項(xiàng)是指代數(shù)式中只包含數(shù)字的項(xiàng)。那就是說，它們是不含變量的項(xiàng)。我們把它們稱為常數(shù)項(xiàng)，是因?yàn)樗鼈兊闹当３植蛔?，這又是因?yàn)槌?shù)項(xiàng)中沒有變量來改變它的值。在表達(dá)式7x2+ 3xy + 8中，常數(shù)項(xiàng)就是8。 Real Numbers 實(shí)數(shù) In algebra,we work with the set of real numbers, which we can model using an umber line. 在代數(shù)中，我們處理的是實(shí)數(shù)集，它可用一條數(shù)軸來直觀表示。 Real numbers describe real-world quantities such as amounts, distances, age,temperature, and so on. A real number can be an integer, a fraction, or a decimal. They can also be either rational or irrational. Numbers that are not "real" are called imaginary.Imaginary numbers are used by mathematicians to describe numbers that cannot be found on the number line. They are a more complex subject than we will work with here. 實(shí)數(shù)描述現(xiàn)實(shí)世界的各種量，例如數(shù)量、距離、年齡、溫度等等。一個(gè)實(shí)數(shù)可能是一個(gè)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、或者小數(shù)。實(shí)數(shù)可能是有理數(shù)，也可能是無理數(shù)。不是實(shí)數(shù)的數(shù)是虛構(gòu)的。虛數(shù)是數(shù)學(xué)家用來描述數(shù)軸上不存在的數(shù)，比我們這里要處理的實(shí)數(shù)復(fù)雜得多。 Rational Numbers 有理數(shù) We call the set of real integers and fractions "rational numbers." Rational comes from the word "ratio" because a rational number can always be written as the ratio, or quotient, of two integers. 我們把整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合稱為"有理數(shù)"。"有理數(shù)"這個(gè)詞來自"比率"，因?yàn)槿魏我粋€(gè)有理數(shù)總能表示為兩個(gè)整數(shù)的比率或商數(shù)。 Examples of rational numbers 有理數(shù)的實(shí)例 The fraction1/2 is the ratio of 1 to 2. 分?jǐn)?shù)1/2表示1比2。 Since three can be expressed as three over one, or the ratio of 3 to one, it is also a rational number. 既然3能表達(dá)為1分之3，或者3比1，因此它也是有理數(shù)。 The number "0.57" is also a rational number, as it can be written as a fraction. 0.57=57/100 數(shù)字"0.57"也是有理數(shù)，因?yàn)樗軐懗梢粋€(gè)分?jǐn)?shù)，即0.57=57/100 Irrational Numbers 無理數(shù) Some real numbers can't be expressed as a quotient of two integers. We call these numbers "irrational numbers". The decimal form of an irrational number is a non-repeating and non-terminating decimal number. For example, you are probably familiar with the number called "pi". This irrational number is so important that we give it a name and a special symbol! 有些實(shí)數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的商，我們稱之為"無理數(shù)"。一個(gè)無理數(shù)寫成小數(shù)形式是無限不循環(huán)的。例如，你可能對(duì)圓周率"Pi"這個(gè)數(shù)很熟悉，這個(gè)無理數(shù)如此重要，以至于我們給它命名，而且用一個(gè)特殊符號(hào)表示它。 Pi cannot be written as a quotient of two integers, and its decimal form goes on forever and never repeats. 圓周率Pi不能寫成兩個(gè)整數(shù)的商，它的小數(shù)形式是無限不循環(huán)的。 Pi=3.1415926.... Translating Words into Algebra Language 把文字翻譯成代數(shù)語言 Here are some statements in English. Just below each statement is its translation in algebra. 這里有一些英語陳述句。每個(gè)陳述句的下一行就是它對(duì)應(yīng)的代數(shù)式。 the sum of three times a number and eight 一個(gè)數(shù)的3倍與8的和 3x + 8 The words "the sum of" tell us we need a plus sign because we're going to add three times a number to eight. The words "three times" tell us the first term is a number multiplied by three. "…的和"這幾個(gè)字，告訴我們需要要一個(gè)加號(hào)，因?yàn)槲覀儗⒁粋€(gè)數(shù)的3倍加到8上。"…的3倍"這幾個(gè)字，告訴我們第一項(xiàng)是一個(gè)數(shù)乘以3。 In this expression, we don't need a multiplication sign or parenthesis.Phrases like "a number" or "the number" tell us our expression has an unknown quantity, called a variable. In algebra, we use lettersto represent variables. 這個(gè)表達(dá)式中，我們不需要乘號(hào)或括號(hào)。像"一個(gè)數(shù)"或"這個(gè)數(shù)"之類的短語，告訴我們表達(dá)式中含有一個(gè)未知量，稱之為變量。代數(shù)中，我們用字母來代表變量。 the product of a number and the same number less 3 一個(gè)數(shù)與同一個(gè)數(shù)減去3之后的乘積 x(x - 3) The words "the product of" tell us we're going to multiply a number times thenumber less 3. In this case, we'll use parentheses to represent the multiplication. The words "less 3" tell us to subtract three from the unknown number. "…的乘積"這幾個(gè)字，告訴我們將把一個(gè)數(shù)乘以同一個(gè)數(shù)減去3。這種情況下，我們將使用括號(hào)來表示乘法。"減去3"這幾個(gè)字，告訴我們將從一個(gè)未知數(shù)中減去3。 a number divided by the same number less five 一個(gè)數(shù)除以同一個(gè)數(shù)與5的差 x/(x-5) The words "divided by" tell us we're going to divide a number by the difference of the number and 5. In this case, we'll use a fraction to represent the division. The words "less 5" tell us we need aminus sign because we're going to subtract five. "除以…"這幾個(gè)字，告訴我們將用一個(gè)數(shù)除以同一個(gè)數(shù)與3的差。這種情況下，我們將用一個(gè)分式來表示除法。"減去5"這幾個(gè)字，告訴我們需要一個(gè)減號(hào)，因?yàn)槲覀儗⒁獪p去5。 譯于2005年7月30日 1 × 8 + 1 = 912 × 8 + 2 = 98123 × 8 + 3 = 9871234 × 8 + 4 = 987612345 × 8 +5 = 98765123456 × 8 +6 = 9876541234567 × 8+ 7 = 987654312345678 × 8+ 8 = 98765432123456789 ×8 + 9 = 987654321 1 × 9 + 2 = 1112 × 9 + 3 = 111123 × 9 + 4 = 11111234 × 9 + 5 = 1111112345 × 9 + 6 = 111111123456 × 9 + 7 = 11111111234567 × 9 + 8 = 1111111112345678 × 9 + 9 = 111111111123456789 × 9 +10 = 1111111111 9 × 9 + 7 = 8898 × 9 + 6 = 888987 × 9 + 5 = 88889876 × 9 + 4 = 8888898765 × 9 + 3 = 888888987654 × 9 + 2 = 88888889876543 × 9 + 1 = 8888888898765432 × 9 + 0 = 888888888 1 × 1 = 111 × 11 = 121111 × 111 = 123211111 × 1111 = 123432111111 × 11111 = 123454321111111 × 111111 = 123456543211111111 × 1111111 = 123456765432111111111 × 11111111 = 123456787654321111111111 × 111111111 = 12345678987654321 得到一個(gè)多項(xiàng)式的步驟是：取一些“已知”數(shù)，這些數(shù)既可以是明確的數(shù)（17、√2、π等），也可以是代表數(shù)的字母（a、b、c、……p、q、r等）；將這些數(shù)與一些未知量（x、y、z等）混合，進(jìn)行有限次加法、減法和乘法運(yùn)算，結(jié)果就是一個(gè)多項(xiàng)式。 盡管多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)表達(dá)式中只占很小的比例，但是它們非常重要，特別是在代數(shù)中更重要。當(dāng)數(shù)學(xué)家使用形容詞“代數(shù)的”時(shí)，通?？梢员焕斫鉃椤瓣P(guān)于多項(xiàng)式的”。仔細(xì)檢查一下代數(shù)學(xué)中的某個(gè)定理，即使是抽象層次非常高的定理，經(jīng)過層層分析其意義，我們很可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式?？梢钥隙ǖ卣f，多項(xiàng)式是從古至今的代數(shù)學(xué)中最重要的概念。 1945年，諾伊格鮑爾和美國亞述學(xué)家亞伯拉罕·薩克斯（1915—1983）合作，出版了《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)文獻(xiàn)》（Mathematical Cuneiform Texts）。這本著作現(xiàn)在仍是關(guān)于古巴比倫數(shù)學(xué)的英文權(quán)威著作。當(dāng)然，這方面的研究仍在繼續(xù)，古巴比倫人的輝煌成就現(xiàn)在已經(jīng)眾所周知。特別是，我們現(xiàn)在知道他們掌握了一些可以被稱為代數(shù)的技巧。 諾伊格鮑爾發(fā)現(xiàn)，漢謨拉比時(shí)代的數(shù)學(xué)文本有兩種：“表格文本”和“問題文本”。表格文本就是乘法表、平方表和立方表等表格，以及一些更高級(jí)的列表，比如現(xiàn)存于美國哥倫比亞大學(xué)的“普林頓322”泥板就列出了畢達(dá)哥拉斯三元組，即滿足a2+b2=c2的三元組(a,b,c)，根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，這三個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直角三角形的三條邊。 古巴比倫人迫切需要這樣的表格，因?yàn)殡m然他們書寫數(shù)字的系統(tǒng)在當(dāng)時(shí)很先進(jìn)，卻不能像我們熟悉的10個(gè)數(shù)字那樣方便地進(jìn)行計(jì)算。他們的數(shù)字體系是六十進(jìn)制而不是十進(jìn)制。例如，十進(jìn)制數(shù)37表示3個(gè)10加上7個(gè)1，而古巴比倫人的37表示3個(gè)60加上7個(gè)1，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)187。因?yàn)槿鄙儆脕怼罢嘉弧钡?，事情變得更加困難。因?yàn)榻裉斓挠浄ㄖ杏?，所以我們可以區(qū)分284、2804和208 004等。 分?jǐn)?shù)的書寫方式就像我們表示小時(shí)、分鐘和秒那樣，這種方式其實(shí)是古巴比倫人的原創(chuàng)。例如2.5用這種表示就寫成2:30。古巴比倫人知道，在他們的體系下，2的平方根大約是1:24:51:10。這個(gè)數(shù)是1-[24-(51-10÷60)÷60]÷60，它與2的平方根的精確值相差約一千萬分之六。與整數(shù)一樣，缺少占位數(shù)字0會(huì)產(chǎn)生歧義。 即使在表格文本中，代數(shù)計(jì)算的思維也很明顯。比如，我們知道平方表可輔助進(jìn)行乘法計(jì)算，公式 把乘法簡化為減法（和一個(gè)簡單的除法）。古巴比倫人知道這個(gè)公式，或者說他們知道其本質(zhì)，只是不知道怎么用上面的辦法表示成抽象的公式。他們把這個(gè)公式看成一個(gè)可以運(yùn)用于特定數(shù)字的步驟，即我們今天所說的算法。 詹姆士·紐曼（1907—1966）在《數(shù)學(xué)的世界》中寫道：“關(guān)于古埃及數(shù)學(xué)的水平在學(xué)習(xí)古代科學(xué)的學(xué)生中，存在著較大的不同認(rèn)識(shí)?！边@些不同的觀點(diǎn)現(xiàn)在依然存在。然而，在閱讀了古巴比倫和古埃及的代表性文獻(xiàn)之后，我不明白為什么還有人主張，這兩個(gè)公元前1750年左右分別在新月沃地兩端繁榮起來的文明古國在數(shù)學(xué)發(fā)展水平上是相當(dāng)?shù)?。盡管它們的數(shù)學(xué)都是算術(shù)風(fēng)格，而且也沒有證據(jù)表明他們擁有任何抽象能力，但是古巴比倫的問題顯然比古埃及的問題更深刻、更精妙。（順便說一下，這也是諾伊格鮑爾的觀點(diǎn)。） 這些古代人僅使用最原始的數(shù)字書寫方法就取得了如此輝煌的成就，這真是了不起的事情。但也許更令人驚訝的是，在隨后的幾個(gè)世紀(jì)里，他們幾乎沒有取得新的數(shù)學(xué)進(jìn)展。 丟番圖到底是不是代數(shù)之父，這正是律師所謂的“難以決定的問題”。一些非常受人尊敬的數(shù)學(xué)史學(xué)家都否認(rèn)這一點(diǎn)。比如，在《科學(xué)傳記大辭典》中，庫爾特·沃格爾認(rèn)為丟番圖的工作并不比古巴比倫人和阿基米德（公元前3世紀(jì)）的工作更代數(shù)化，并得出結(jié)論：“丟番圖肯定不是人們通常稱的代數(shù)之父?！狈兜峦郀柕前汛鷶?shù)的起源向后推遲了一段時(shí)間，他認(rèn)為數(shù)學(xué)家花拉子密（780—850）才是代數(shù)之父?；ɡ用鼙葋G番圖晚600年。此外，現(xiàn)在的本科生所學(xué)的被稱為“丟番圖分析”的數(shù)學(xué)分支通常作為數(shù)論課程的一部分，而不在代數(shù)課程里講授。 阿貝爾相當(dāng)早慧。當(dāng)他還是一個(gè)中學(xué)生的時(shí)候，就按照高斯（Carl Friedrich Gauss）對(duì)二項(xiàng)式方程的處理方法探討了高次方程的可解性問題。起初，他認(rèn)為自己解一般的五次方程已獲成功，但很快就發(fā)現(xiàn)了自己的錯(cuò)誤。進(jìn)大學(xué)后，他繼續(xù)研究這一問題，終于在1824年撰寫了一篇題目為“論代數(shù)方程，證明一般五次方程不可解性”的論文，該論文嚴(yán)格地證明了一般五次方程不能像低次方程那樣用根式求解，從而解決了困惑數(shù)學(xué)家300年之久的一個(gè)難題，這時(shí)他年僅22歲。他自己出資印發(fā)了這篇論文。他在該論文的開頭寫道：“許多數(shù)學(xué)家全身心致力于尋求代數(shù)方程的一般解，只有幾位數(shù)學(xué)家試圖證明解的不可能性。然而，如果我沒弄錯(cuò)的話，他們都還未成功。所以我才敢奢望數(shù)學(xué)家們善意地接受這篇論文?！卑⒇悹柕倪@篇論文促使數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步思考什么樣的特殊方程能用根式求解，最終推動(dòng)了伽羅瓦群的發(fā)現(xiàn)和代數(shù)方程根式可解問題的徹底解決。法國數(shù)學(xué)家勒讓德說：“這項(xiàng)工作是阿貝爾的永恒紀(jì)念碑?！绷硗?，阿貝爾在1823年還發(fā)表了其他一些論文，其中包括《用定積分解某些問題》。該論文首次給出了積分方程的解，從而為積分方程在19世紀(jì)末20世紀(jì)初的全面發(fā)展開辟了道路。 在柏林，他完成了關(guān)于橢圓函數(shù)的一篇開創(chuàng)性論文，之后就回到了挪威。他原希望回國后能被聘為大學(xué)教授，但希望又一次落空。于是阿貝爾只能靠給私人補(bǔ)課，或當(dāng)代課教師謀生，生活極其困苦，用他自己的話來說“窮得就像教堂里的老鼠”。在這樣艱苦的條件下，他仍堅(jiān)持科研工作，并寫了多篇關(guān)于橢圓函數(shù)的論文。阿貝爾和雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的奠基人，他發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性，并引進(jìn)了橢圓積分的反演，從而開創(chuàng)了橢圓函數(shù)這一數(shù)學(xué)分支。后來，阿貝爾的聲譽(yù)隨著他的研究成果逐漸傳到歐洲的所有數(shù)學(xué)中心，但他卻身處消息閉塞之地，毫無所知。更不幸的是，阿貝爾因肺病于1829年去世，終年不足27歲。死后的第三天，柏林大學(xué)給他的數(shù)學(xué)教授聘書才寄到挪威，這也是后世數(shù)學(xué)家無不為之深深惋惜的事情——“遲到的聘書”。當(dāng)?shù)聡鴶?shù)學(xué)家雅可比看到阿貝爾《論一類廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)》后，于1829年3月14日寫信給勒讓德質(zhì)問：“阿貝爾先生的這個(gè)發(fā)現(xiàn)是什么樣的發(fā)現(xiàn)??！……有誰看見過同樣的東西嗎？這個(gè)發(fā)現(xiàn)也許是我們這個(gè)世紀(jì)最偉大的發(fā)現(xiàn)，在兩年前就給你們科學(xué)院了，可你們的同事們?cè)趺磿?huì)沒有注意到呢？”挪威政府得知了這個(gè)質(zhì)問，也讓其駐巴黎的領(lǐng)事就這份遺失的手稿提出了外交抗議。為此，柯西在1830年把它翻了出來，經(jīng)過討論后，法國科學(xué)院于1830年決定授予阿貝爾數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)。然而，阿貝爾此時(shí)已經(jīng)去世了。 阿貝爾的一生十分短促，卻在數(shù)學(xué)史上留下了光輝的篇章。數(shù)學(xué)中以他的姓氏命名的概念和定理有：阿貝爾群、阿貝爾變換、阿貝爾求和法、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾范疇、阿貝爾擴(kuò)張、阿貝爾定理、阿貝爾遍歷定理、阿貝爾連續(xù)性定理、阿貝爾方程、阿貝爾積分方程、阿貝爾微分、阿貝爾積分、阿貝爾射影算子、阿貝爾問題……著名數(shù)學(xué)家埃爾米特（Charles Hermite）曾說：“阿貝爾留下來的問題，夠數(shù)學(xué)家忙150年?！笨死桌赵谒骶幍摹都兇馀c應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》里寫道：“阿貝爾在他的所有著作里都打下了天才的烙印，表現(xiàn)出了不起的思維能力。我們可以說他具有能夠穿透一切障礙深入問題的根底，具有似乎是無堅(jiān)不摧的氣勢……他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，使他的人品也像他的天才那樣受到不同尋常的愛戴。”德國著名數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）說：“阿貝爾做出了永恒、不朽的東西！他的思想將永遠(yuǎn)給我們的科學(xué)以豐饒的影響?！?lt;/span> 正負(fù)號(hào)規(guī)則：負(fù)負(fù)得正 對(duì)許多人來說，這是算術(shù)中一個(gè)主要的疑問點(diǎn)。“用一個(gè)負(fù)數(shù)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)是什么意思？”他們問道。我見過的最好的解釋是加德納（Martin Gardner）作出的，具體如下。設(shè)想一個(gè)很大的禮堂里坐滿了兩種人，好人和壞人。我定義“加法”的意思是“把人送進(jìn)禮堂”。我定義“減法”的意思是“把人叫出禮堂”。我定義“正數(shù)”的意思是“好”（“好人”），而“負(fù)數(shù)”的意思是“壞”。加一個(gè)正數(shù)意味著送一些好人進(jìn)禮堂，顯然這增加了那里的善良人數(shù)的凈值。加一個(gè)負(fù)數(shù)意味著送一些壞人進(jìn)去，這減少了善良人數(shù)的凈值。減一個(gè)正數(shù)意味著叫出一些好人——禮堂中善良人數(shù)的凈值減少了。減一個(gè)負(fù)數(shù)意味著叫出一些壞人——善良人數(shù)的凈值增加了。這樣，加一個(gè)負(fù)數(shù)恰似減一個(gè)正數(shù)，而減一個(gè)負(fù)數(shù)就像加一個(gè)正數(shù)。乘法就是重復(fù)的加法。負(fù)三乘負(fù)五？叫出五個(gè)壞人。這樣做三次。結(jié)果呢？善良人數(shù)的凈值增加了15……。 諸如此類，含有多個(gè)未知量并且可能出現(xiàn)無窮多組解（解的數(shù)量取決于所求的解的類型）的方程被稱為不定方程。 最著名的不定方程是費(fèi)馬大定理（即費(fèi)馬最后定理）中出現(xiàn)的x^n+y^n=z^n，其中x、y、z和n都是正整數(shù)。當(dāng)n=1或n=2時(shí)，這個(gè)方程有無窮多組解。費(fèi)馬大定理稱當(dāng)n是大于2的正整數(shù)時(shí)，該方程沒有正整數(shù)解。 1637年左右，皮埃爾·德·費(fèi)馬（1607—1665）在閱讀丟番圖的《算術(shù)》（拉丁文譯本）時(shí)突然想到了這個(gè)定理，于是他在該書的頁邊空白處留下了著名的注記，陳述了這個(gè)命題，然后（也是用拉丁文）補(bǔ)充道：“對(duì)此我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)完美的證明，可是這里的空白太小，寫不下?！睂?shí)際上直到357年之后，這個(gè)定理才被安德魯·懷爾斯（1953— ）證明。 那么，丟番圖是代數(shù)之父嗎？我之所以愿意給他這樣的榮譽(yù)稱號(hào)，正是因?yàn)樗淖帜阜?hào)體系——用特殊的字母符號(hào)表示未知量、未知量的冪、減法和相等。當(dāng)我第一次看到丟番圖用自己的符號(hào)寫出的方程時(shí)，我的第一反應(yīng)可能和你一樣：“他說的是啥？”不過，在看過他的一些問題之后，我很快就熟悉了他的字母符號(hào)體系，甚至能夠不假思索地快速閱讀丟番圖的方程。 最終，我領(lǐng)悟到丟番圖創(chuàng)造出的字母符號(hào)體系非常先進(jìn)。我確實(shí)認(rèn)同沃格爾所說的《算術(shù)》中缺少一般方法的觀點(diǎn)，我也愿意承認(rèn)丟番圖在選題上缺乏原創(chuàng)性。也許他并不是第一個(gè)使用特殊符號(hào)表示未知量的人。 然而，由于歷史的命運(yùn)，最早把如此廣泛、全面、富有想象力的問題集傳給我們的是丟番圖。遺憾的是，我們不知道誰是第一個(gè)使用符號(hào)表示未知量的人，但既然丟番圖這么早就能如此熟練地使用符號(hào)來表示未知量，我們應(yīng)該為此向他致敬。也許某一個(gè)我們不知道并且永遠(yuǎn)不會(huì)知道的人才是真正的代數(shù)之父。但是既然這個(gè)頭銜空缺，我們不妨把它送給一個(gè)我們知道的最有資格的古代人，他的名字就是丟番圖。 希帕提婭是數(shù)學(xué)史上第一位女性數(shù)學(xué)家。她的所有著作都丟失了，我們只能通過傳說來了解她。從這點(diǎn)來說，我們很難判斷她是否是一位重要的數(shù)學(xué)家。但無論如何，她肯定是一位重要的學(xué)者。她在繆斯神廟授課（她的父親塞昂是神廟的最后一任館長），既是教材的編者、編輯，也是教材的保存者，其中就有數(shù)學(xué)教材。她教授新柏拉圖主義哲學(xué)，也是該學(xué)派的擁護(hù)者。這種哲學(xué)試圖確立在后羅馬時(shí)代非常缺乏的秩序、正義和和平。據(jù)說她非常美麗，而且終生未婚。 希帕提婭在教學(xué)和學(xué)術(shù)研究方面非?；钴S。當(dāng)時(shí)亞歷山大城的教長是西里爾，后來被稱為圣西里爾，由于時(shí)代久遠(yuǎn)而且神學(xué)爭論非常復(fù)雜，我們很難斷定他到底是一個(gè)什么樣的人。正如我們從《天主教百科全書》中了解到的那樣，當(dāng)時(shí)的亞歷山大城總是處于“暴亂”之中?？傊?，西里爾卷入了與駐埃及的羅馬行政長官奧列斯特之間的一場教會(huì)與國家的爭端當(dāng)中，有人散布謠言說希帕提婭是和解的主要障礙。一群暴徒被煽動(dòng)起來（也許是自行發(fā)起暴動(dòng)），他們把希帕提婭拖下車，穿過街道拖進(jìn)教堂，據(jù)文獻(xiàn)記載及其譯文描述，她被用貝殼或者陶瓷碎片凌遲處死。 希帕提婭似乎是最后一個(gè)在繆斯神殿授課的人，人們認(rèn)為她在415年的駭人聽聞的死亡標(biāo)志著古代歐洲數(shù)學(xué)的終結(jié)。之后，西羅馬帝國勉強(qiáng)支撐了60年，亞歷山大城在東羅馬帝國（拜占庭帝國）各代皇帝的統(tǒng)治下又延續(xù)了164年（其間被波斯短暫占領(lǐng)，時(shí)間為616 ～ 629年），但其學(xué)術(shù)生機(jī)已經(jīng)蕩然無存。代數(shù)學(xué)歷史的長河中的下一位著名人物的家鄉(xiāng)在亞歷山大城以東900英里的底格里斯河沿岸，又回到了美索不達(dá)米亞平原，2500年前，那里正是一切故事的開端。 英文的“代數(shù)”一詞“algebra”取自一本書的書名，那本書就是在820年左右阿拔斯王朝的巴格達(dá)寫成的，作者的名字是穆罕默德·本·穆薩·阿爾·花剌子模（Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al - Khwarizmi）。我將像大家一樣稱他為花拉子密。 巴格達(dá)曾經(jīng)是一個(gè)偉大的文化中心（約786 ～ 833年），現(xiàn)代西方人只模糊地知道這里是《一千零一夜》故事中所描繪的有元老、奴隸、商隊(duì)和遠(yuǎn)行商人的世界。阿拉伯人自己認(rèn)為那時(shí)的巴格達(dá)正處于黃金時(shí)代，盡管事實(shí)上阿拔斯王朝已經(jīng)不具備強(qiáng)大的軍事力量來維持當(dāng)初贏占的領(lǐng)土，而且正在因北非和高加索等地區(qū)的叛亂而進(jìn)一步失去領(lǐng)土。 波斯是阿拔斯王朝領(lǐng)土的一部分，信仰和世俗權(quán)力兩方面都受到統(tǒng)治者的控制。然而，從1400年前的米底王國開始，波斯就已經(jīng)有了高度文明，而公元800年的阿拉伯人與他們?cè)谏衬幼〉淖嫦戎桓袅肆?。因此，在某種程度上，阿拔斯人對(duì)波斯人懷有某種文化上的自卑情結(jié)，就像古羅馬人對(duì)古希臘人一樣。 除了波斯人之外，還有古印度人。公元4世紀(jì)和5世紀(jì)，古印度北部統(tǒng)一在笈多王朝之下，但此后又漸漸分成小國，這種情況一直持續(xù)到土耳其列強(qiáng)在10世紀(jì)末的入侵。中世紀(jì)的印度文明對(duì)數(shù)特別著迷，尤其是一些非常大的數(shù)，他們還特意給這些數(shù)起了名字（你也許曾經(jīng)看到過梵文術(shù)語“tallakchana”，它代表10^53 ）。數(shù)字0的發(fā)現(xiàn)——這個(gè)不朽的榮耀——屬于古印度人，也許歸功于數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（598—670），而我們所說的阿拉伯?dāng)?shù)字實(shí)際上也起源于古印度。 除了古印度人之外，當(dāng)然還有中國人。至少從7世紀(jì)中葉開始，中國佛教高僧唐玄奘西行，印度由此開始與中國保持文化往來，波斯經(jīng)由絲綢之路與中國進(jìn)行頻繁的貿(mào)易往來。中國很早就有了自己的數(shù)學(xué)文化。 因此，有閑情逸致的巴格達(dá)人熟悉當(dāng)時(shí)文明世界中發(fā)生的任何事情。他們通過亞歷山大城以及他們與拜占庭帝國之間的貿(mào)易往來了解到古希臘文化和古羅馬文化，他們也能夠容易地接觸到波斯、古印度和古代中國的文化。 要使阿拔斯王朝的巴格達(dá)成為一個(gè)理想的保存豐富知識(shí)的中心，所需要的就是一所學(xué)院，一個(gè)能夠查閱書面文獻(xiàn)、舉辦演講和學(xué)術(shù)會(huì)議的地方。不久，這樣的學(xué)院就出現(xiàn)了，人們稱它為智慧宮（Dar al-Hikma）。這所學(xué)院最鼎盛的時(shí)期是阿拔斯王朝第七任統(tǒng)治者馬蒙統(tǒng)治的時(shí)期。用亨利·羅林森爵士的話說，馬蒙統(tǒng)治時(shí)期的巴格達(dá)“在文學(xué)、藝術(shù)和科學(xué)等領(lǐng)域同科爾多瓦一樣達(dá)到世界最高水平，而在商業(yè)和財(cái)富方面則遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了科爾多瓦”。這就是花拉子密生活和工作的時(shí)期。 我們對(duì)花拉子密的生平了解得很少，對(duì)他的生卒年份（約783—850）也只知大概。在阿拉伯歷史學(xué)家和目錄學(xué)家的著作中，關(guān)于花拉子密有一些枯燥的零碎記錄，如果你想對(duì)他了解得更詳細(xì)，我建議你參考《科學(xué)傳記大辭典》。我們只知道花拉子密編寫了幾部著作：一部是關(guān)于天文學(xué)的，一部是關(guān)于地理學(xué)的，一部是關(guān)于猶太歷法的，一部是關(guān)于古印度數(shù)字體系的，還有一部是編年史。 這部關(guān)于古印度數(shù)字體系的著作只有拉丁文譯本保存了下來，它的卷首語是“根據(jù)花拉子密……”（Dixit Algorithmi...）。這部著作敘述了現(xiàn)代十進(jìn)制算術(shù)體系的計(jì)算法則，這些法則是古印度人發(fā)明的，它的影響非常深遠(yuǎn)。因?yàn)檫@段卷首語，掌握了這種“新算術(shù)”（相對(duì)于舊羅馬數(shù)字體系，后者對(duì)運(yùn)算毫無幫助）的中世紀(jì)歐洲學(xué)者稱自己為“算術(shù)家”（algorithmists）。很久之后，人們用“算法”（algorithm）這個(gè)詞來表示經(jīng)過有限次確定步驟后可以完成的計(jì)算過程。這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家使用的含義。 真正吸引我們的是一本名為《還原與對(duì)消計(jì)算概要》的書。這是一本代數(shù)和算術(shù)教材，是600年前丟番圖的《算術(shù)》之后在這個(gè)領(lǐng)域中第一部意義重大的著作。此書分為三部分，分別關(guān)于二次方程的解法、面積和體積的測量以及處理復(fù)雜的繼承法所需要的數(shù)學(xué)。 嚴(yán)格地說，這三部分中只有第一部分屬于代數(shù)，這有些令人失望。而且花拉子密沒有字母符號(hào)體系，因此他既沒有用字母和數(shù)表示方程的方法，也沒有表示未知量和未知量的冪的符號(hào)。對(duì)于我們寫成如下形式的方程： 而它在花拉子密的書中的形式如下： 一個(gè)平方與10個(gè)該平方的根之和等于39迪拉姆，也就是說，當(dāng)一個(gè)平方加上它的根的10倍后總和等于39時(shí)，這個(gè)平方是什么？ （迪拉姆是一種貨幣單位?；ɡ用苡盟硎疚覀儸F(xiàn)在所說的常數(shù)項(xiàng)。） 另外，在花拉子密的著作中，我們沒有看到丟番圖從幾何方法向符號(hào)運(yùn)算的歷史性轉(zhuǎn)變。這并不奇怪，因?yàn)榛ɡ用軟]有要處理的符號(hào)，但這與600年前丟番圖取得的偉大突破相比稍有一些倒退。范德瓦爾登說：“我們可以排除花拉子密的工作深受古希臘數(shù)學(xué)影響的可能性?！?lt;/span> 事實(shí)上，花拉子密的主要代數(shù)成就是提出了把方程作為研究對(duì)象的想法，他將所有包含一個(gè)未知量的一次方程和二次方程分類，并給出操作它們的法則。他把這些方程分成6種基本類型，用現(xiàn)代字母符號(hào)體系把它們寫出來就是： 其中某些方程在我們看來顯然屬于同一類型，那是因?yàn)槲覀冇胸?fù)數(shù)的概念，而花拉子密沒有這樣的知識(shí)。當(dāng)然他可能會(huì)提到減法，提到一個(gè)量比另一個(gè)量多，或者一個(gè)量比另一個(gè)量少，但是，他的自然的算術(shù)意識(shí)是用正數(shù)來看待一切。 至于操作技巧，就是引入了“還原”（al-jabr）和“對(duì)消”（al-muqabala）。一旦碰到類似x^2=40x-4x^2的方程（或者如花拉子密所說：“一個(gè)平方比四十個(gè)該平方的根少四個(gè)平方?！保?，你如何把這個(gè)方程轉(zhuǎn)化成6種基本方程類型中的一種呢？將這個(gè)方程的兩邊加上4x^2，“還原”這個(gè)方程，就得到第一種類型的方程：5x^2=40x 這就是在方程兩邊加上相等的項(xiàng)。相反的做法是將方程兩邊減去相等的項(xiàng)，即“對(duì)消”。例如，在方程兩邊同時(shí)減去29可以把方程50+x^2= 29+10x轉(zhuǎn)化成第五種類型21+x^2=10x。 這些操作方法都不是新的。事實(shí)上，還原和對(duì)消的方法在丟番圖的書中就出現(xiàn)過，當(dāng)然，丟番圖的書中有豐富的字母符號(hào)體系來幫助處理方程問題。圖默在《科學(xué)傳記大辭典》中說：“花拉子密的科學(xué)成就其實(shí)很普通，但是其影響是巨大的?！?lt;/span> 事實(shí)上，我擔(dān)心此刻的讀者會(huì)產(chǎn)生這樣的想法：這些古代和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)家“不是很聰明”。公元前1800年的古巴比倫人就已經(jīng)在求解寫成文字問題的二次方程，而2600年之后的花拉子密仍在求解寫成文字問題的二次方程。 我承認(rèn)這的確有點(diǎn)兒令人失望。然而，從某種程度上說這也是令人振奮的。形成符號(hào)代數(shù)的進(jìn)展極其緩慢，說明這個(gè)課題處于非常高級(jí)的層次。借用約翰遜博士的比喻，其奇妙之處不在于人們花了如此長的時(shí)間才學(xué)會(huì)做這些事情，而在于人們能做到這些事情。 事實(shí)上，代數(shù)學(xué)的發(fā)展到了中世紀(jì)中期才開始出現(xiàn)一點(diǎn)起色。在花拉子密之后，阿拉伯地區(qū)涌現(xiàn)了許多著名的數(shù)學(xué)家。塔比·伊本·庫拉（836—901）就是花拉子密的后一代人，他也生活在巴格達(dá)，在天文數(shù)學(xué)和數(shù)論方面做出了杰出的工作。一個(gè)半世紀(jì)之后，西班牙的科爾多瓦的穆罕默德·賈揚(yáng)尼（989—1079）寫了第一篇關(guān)于球面三角學(xué)的論文。然而，他們都沒有在代數(shù)學(xué)上取得重大進(jìn)展。特別是，沒有人嘗試去重復(fù)丟番圖在字母符號(hào)體系領(lǐng)域的偉大突破，所有人都在使用文字表述他們的問題。 下面，我將詳細(xì)介紹另一位中世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，不僅因?yàn)樗档媒榻B，而且他還是通往文藝復(fù)興初期歐洲的橋梁，代數(shù)學(xué)的發(fā)展直到文藝復(fù)興時(shí)期才真正開始好轉(zhuǎn)。 ※※※ 奧馬·海亞姆（約1048—1131）作為《魯拜集》的作者聞名于西方。這是一本四行詩詩集，展示了極具個(gè)性的人生觀，內(nèi)容多是感慨生命無常，應(yīng)及時(shí)行樂、縱酒放歌，其風(fēng)格在某種程度上與英國詩人豪斯曼（1859—1936）的作品類似。愛德華·菲茨杰拉德（1809—1883）把其中的75首詩翻譯成英語四行詩，每一首詩的押韻方式都是“a-a-b-a”。菲茨杰拉德翻譯的海亞姆的《魯拜集》于1859年出版，在第一次世界大戰(zhàn)前的英語國家里非常受歡迎。（一本用華美珠寶裝飾的《魯拜集》原版復(fù)本同泰坦尼克號(hào)一起沉入了大海。） 《科學(xué)傳記大辭典》認(rèn)為海亞姆生活的年代最有可能是1048～1131年。因?yàn)闆]有更準(zhǔn)確的日期，所以我只好同意這種觀點(diǎn)。這樣的話，海亞姆至少比花拉子密晚250年。在考察中世紀(jì)的智力活動(dòng)時(shí)，我們一定要牢記這些巨大的時(shí)間跨度。 海亞姆生活和工作的地方位于第一次大征服的最東邊。這一地區(qū)包括美索不達(dá)米亞、現(xiàn)在的伊朗北部和中亞的南部（今天的土庫曼斯坦、烏茲別克斯坦、塔吉克斯坦和阿富汗）。在海亞姆的時(shí)代，這里既有民族沖突也有宗教沖突，涉及的主要民族有波斯人、阿拉伯人和土耳其人。 在1037年，也就是在海亞姆出生的幾年前，一位名叫塞爾柱的伽色尼土耳其雇傭兵造反并打敗了伽色尼軍隊(duì)。這個(gè)新建立的土耳其政權(quán)迅速擴(kuò)張。1055年，當(dāng)時(shí)海亞姆7歲，塞爾柱的孫子接管巴格達(dá)，并自封為蘇丹，意思就是“統(tǒng)治者”。 ※※※ 因此，海亞姆的一生都在塞爾柱土耳其的統(tǒng)治之下度過，他的重要贊助人是塞爾柱帝國的第三位蘇丹馬立克沙（1055—1092）。馬立克沙的統(tǒng)治時(shí)期是1073～1092年，首都是今天伊朗境內(nèi)的伊斯法罕市，位于伊拉克巴格達(dá)以東約700千米。馬立克沙沒有他的維齊爾（相當(dāng)于宰相）尼扎姆·穆勒克（1018—1092）有名，穆勒克是歷史上有名的治國之才，也是一位外交天才，他同海亞姆一樣，是波斯人。馬立克沙、穆勒克經(jīng)常與哈桑·薩巴赫（1050—1124）并稱為當(dāng)時(shí)的“波斯三巨頭”，是塞爾柱帝國的三名重要人物。 在宗教方面，馬立克沙宮廷似乎很有包容心，這就是中世紀(jì)的大致情況。這也許非常適合海亞姆。他的詩表現(xiàn)出一種懷疑論和不可知論的人生態(tài)度，與他同時(shí)代的人通常認(rèn)為他是一名自由思想家。作為伊斯法罕大天文臺(tái)的臺(tái)長，海亞姆主要忙于研究和學(xué)習(xí)，盡量不參與麻煩的事情，只是按要求編寫正統(tǒng)宗教手冊(cè)或履行每個(gè)信徒的義務(wù)。我們可以從現(xiàn)存的這些詩和傳記看出，海亞姆給現(xiàn)代讀者留下了非常深刻的印象。 作為代數(shù)學(xué)家，他的主要成果是他在二十多歲時(shí)去伊斯法罕之前寫的一本書，書名是《還原與對(duì)消問題的論證》。 同花拉子密和中世紀(jì)的其他阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們一樣，海亞姆忽視了或者不知道丟番圖在字母符號(hào)體系方面的偉大突破，而是用文字闡述每一個(gè)問題。另外，他也像古希臘人一樣使用了強(qiáng)大的幾何方法，在求解數(shù)值問題時(shí)很自然地轉(zhuǎn)向幾何方法。 海亞姆對(duì)代數(shù)學(xué)發(fā)展的主要貢獻(xiàn)在于他首先開始嚴(yán)肅地研究三次方程。由于缺少適當(dāng)?shù)淖帜阜?hào)體系，而且海亞姆很明顯不愿意接納負(fù)數(shù)，因此他的研究顯得很費(fèi)力。比如，我們書寫的方程x^3+ax=b，海亞姆將其表述為“一個(gè)立方加上若干邊等于一個(gè)數(shù)”。不過他仍然提出并解決了幾個(gè)涉及三次方程的問題，只是他的解法都是幾何方法。 這并不是三次方程在歷史上第一次出現(xiàn)。我們已經(jīng)看到，丟番圖解決過一些三次方程；甚至在丟番圖之前，阿基米德在考慮如何把一個(gè)球分成兩部分，使得它們的體積之比是給定的比例等類似問題時(shí)，也遇到了三次方程。（你如果稍微想一想，就會(huì)想到這與阿基米德對(duì)浮體的興趣有關(guān)。）海亞姆似乎是第一個(gè)把三次方程分成不同類型的人，他把三次方程分成14種類型，他知道如何使用幾何方法處理其中的4種類型。 下面是海亞姆考慮的一個(gè)三次方程的例子：畫一個(gè)直角三角形。從直角所在的頂點(diǎn)作斜邊上的垂線段。如果這條垂線段的長度加上這個(gè)直角三角形最短邊的長度等于斜邊的長度，你能知道這個(gè)直角三角形的形狀嗎？ 答案是這個(gè)三角形的最短直角邊與另一條直角邊的比必須滿足下面的三次方程2x^3-2x^2+2x-1=0 這個(gè)比值完全決定了這個(gè)直角三角形的形狀。 這個(gè)方程唯一的實(shí)數(shù)解是0.647 798 871...，這個(gè)無理數(shù)非常接近有理數(shù)103/159。所以，直角邊是103和159的直角三角形非常接近這個(gè)問題的答案，讀者可以輕松驗(yàn)證。海亞姆采用了一種間接的方法，求解一個(gè)略微不同的三次方程，利用兩條經(jīng)典的幾何曲線的交點(diǎn)給出了這個(gè)方程的數(shù)值解。 @@@@ 古巴比倫人發(fā)明了一些技術(shù)，用來求解包含一個(gè)未知量的某些線性方程和二次方程。 后來，古希臘人用幾何方法解決了類似的方程。 在公元3世紀(jì)，丟番圖將研究范圍擴(kuò)大到很多其他類型的方程，包括高次方程、多變量方程以及同類方程的方程組。針對(duì)代數(shù)問題，他發(fā)展了第一個(gè)字母符號(hào)體系。 中世紀(jì)阿拉伯學(xué)者發(fā)明了“代數(shù)”這個(gè)詞語。他們開始把方程作為有價(jià)值的研究對(duì)象，同時(shí)根據(jù)已有技術(shù)求解方程的難易程度，對(duì)線性方程、二次方程和三次方程進(jìn)行了分類。