點(diǎn)上方超級(jí)數(shù)學(xué)建模可加關(guān)注 用理性的方式去思考問(wèn)題，是數(shù)學(xué)帶給你的禮物 蝙蝠俠是超級(jí)英雄，小丑是秩序破壞者。蝙蝠俠堅(jiān)信正義，小丑蔑視道德。當(dāng)蝙蝠俠未能及時(shí)出現(xiàn)，而你我這樣的普通人又深陷小丑一手設(shè)計(jì)的性命游戲之中時(shí)，如何才能幸免于難？關(guān)鍵就在堅(jiān)守小丑蔑視的——道德。但這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，在這場(chǎng)用性命博弈的游戲中，采取什么樣的策略，只有經(jīng)過(guò)精細(xì)地計(jì)算才能知道。 本文就選取了電影蝙蝠俠前傳2：黑暗騎士中的一個(gè)經(jīng)典片段——小丑的社會(huì)實(shí)驗(yàn)，對(duì)其中復(fù)雜且變數(shù)頗多的博弈做了深入的分析。（點(diǎn)擊閱讀原文可查看視頻） 小丑設(shè)計(jì)的“社會(huì)實(shí)驗(yàn)” 小丑最后的行動(dòng)是在兩艘載滿乘客的渡輪中做一個(gè)“社會(huì)實(shí)驗(yàn)”。兩艘渡輪中，一艘全是普通市民，另一艘則載滿了高譚市的罪犯。小丑早早地就在兩條船上綁滿了炸彈，當(dāng)所有人都上船后，他發(fā)出威脅，開(kāi)始制定游戲規(guī)則： 任何人不得下船，否則只要被發(fā)現(xiàn)，小丑就同時(shí)炸飛兩艘船 每艘船上都有另一艘船的炸彈引爆器，午夜12點(diǎn)之前只要炸掉另一艘船，該船的人就能生還 如果過(guò)了午夜 12 點(diǎn)，小丑還沒(méi)有看到“燦爛的煙花”，兩艘船將同時(shí)灰飛煙滅 心靈扭曲的小丑想看到“煙花”，即至少有一條船由乘客自己炸掉。為了方便分析，我們先假設(shè)小丑沒(méi)有耍其他的花招（比如引爆器其實(shí)只會(huì)引爆自己這艘船），在他自己也遵守上述規(guī)則的情況下，他會(huì)認(rèn)為：好市民們可能會(huì)因?yàn)樽约旱拇嫌行『ⅰ⑺麄儚奈捶高^(guò)罪等等理由炸掉另一船劣跡斑斑的罪犯；而罪犯?jìng)儎t有可能為了保命從武裝警衛(wèi)那里搶來(lái)引爆器。 問(wèn)題的關(guān)鍵在于一艘船上的乘客判斷另一艘船上的人會(huì)采取什么行動(dòng)，要知道他們并沒(méi)有辦法交流。在小丑眼中，這無(wú)疑就是一個(gè)囚徒困境： 其中 1 表示引爆獲的收益（這里就是存活），0 表示放棄引爆的收益（這里是死亡）。容易看出，無(wú)論對(duì)哪一方來(lái)說(shuō)，選擇按下引爆器才是最有策略，因?yàn)橹挥邪聪乱鞑庞猩€的可能。 但結(jié)果并沒(méi)有那么壞 果真如此的話，那整個(gè)故事只會(huì)令人厭惡的流暢。幸運(yùn)的是，在高譚市這種情況并沒(méi)有發(fā)生。而有意思的是，雖然最終決策相 同，但兩艘船上的人做出決策的過(guò)程卻截然不同。 在載有罪犯的船上，這個(gè)決策的過(guò)程是發(fā)散的，即任意一個(gè)人或者一部分人只要從警衛(wèi)那里搶得引爆器，他（們）不必征求其他罪犯的意見(jiàn)就會(huì)按下按鈕（只要他決心這樣做）。雖然船上武裝警衛(wèi)有著獨(dú)裁地位和維持獨(dú)裁的力量，但隨著時(shí)間慢慢逼近 deadline，他們的權(quán)利也會(huì)逐漸下放。很明顯的，這種分散的決策過(guò)程會(huì)放大個(gè)人的作用，從這個(gè)角度說(shuō)，這條船上的人會(huì)更傾向于選擇存活下來(lái)——也就是炸飛另一條船。 與此同時(shí)，另一條船上的決策過(guò)程則理性許多。市民們遵循多數(shù)代表全體的道理，選擇通過(guò)投票的方法做出最后決定。最終的結(jié)果是 3：1 ，大多數(shù)人同意按下引爆器。奇怪的是卻沒(méi)有一個(gè)人愿意站出來(lái)去執(zhí)行。市民們是理智的，一方面他們做出一個(gè)符合大多數(shù)人利益（或者說(shuō)意愿）的決定，一方面也沒(méi)有哪個(gè)人愿意成為劊子手。 到這里我們知道，兩條船上的人本都該選擇炸掉另一條船，但他們都沒(méi)有選擇這樣做。究其原因，道德的約束在這里起到了很大的作用（ 在這里我們將這種約束定義為“道德”，可能與傳統(tǒng)的道德的精確定義略有出入 ）。因此，在這場(chǎng)博弈中，如果不考慮道德這個(gè)參量，未免過(guò)于片面。 道德價(jià)值在生死博弈中的體現(xiàn) 道德在社會(huì)規(guī)范中的價(jià)值讓參與選擇的乘客并不只考慮自己的性命。按下了那個(gè)按鈕，負(fù)罪感就會(huì)隨之而來(lái)；另外即便按下引爆器的人活了下來(lái)，回到正常社會(huì)中時(shí)也很有可能會(huì)遭受非議。但有時(shí)，道德并不利于存活下來(lái)，當(dāng)生存下來(lái)的價(jià)值大于道德的價(jià)值時(shí)，未必不會(huì)有人迫不得已炸掉隔壁那艘船。 因此， 當(dāng) 生存 > 道德時(shí)，這場(chǎng)博弈的收益矩陣就變成了如下的樣子： 這種情況下存在純策略納什均衡，那就是（放棄引爆，引爆-）與（引爆，放棄引爆）。采取這兩種策略（中的任意一個(gè)），對(duì)雙方來(lái)說(shuō)不是損失最小就是收益最多。由于兩艘船上的人沒(méi)有辦法進(jìn)行交流，所以選擇引爆和放棄引爆的概率各為 1/2。需要注意的是，這個(gè)概率會(huì)因?yàn)榈赖聝r(jià)值的變化而變化，只在放棄引爆獲益為 1 ，引爆獲益為 2 時(shí)，兩種選擇的概率才都為 1/2。很容易算出，選擇均衡策略的概率就是 1/2 ；而雙方都放棄引爆的概率是 0.25。 然而這只是一次博弈的結(jié)果。小丑在 23：30 發(fā)出威脅，當(dāng) 5 分鐘后雙方發(fā)現(xiàn)對(duì)方并沒(méi)有按下引爆器時(shí)，他們之后的決策也會(huì)因此受到影響，選擇引爆和選擇放棄引爆的概率隨之改變。 這就是所謂的重復(fù)博弈——相同結(jié)構(gòu)的博弈重復(fù)多次甚至無(wú)限次。其中每次博弈被稱(chēng)為“階段博弈”。而這個(gè)階段博弈一般是一個(gè)大家熟悉的博弈（如囚犯困境）。因?yàn)槠渌麉⑴c人過(guò)去決策和行動(dòng)的歷史是可觀測(cè)的，因此在重復(fù)博弈中，每個(gè)參與人可以使自己在每個(gè)階段選擇的策略依賴(lài)于其他參與人過(guò)去的行為，信任和抱負(fù)由此而生。 即便如此，我們的考慮還是有所欠缺。如果道德處于一個(gè)很高的地位，以至于當(dāng) 道德 > 生存 時(shí)，場(chǎng)面又會(huì)截然不同： 這種情況下，純策略的納什均衡是雙方都放棄引爆，因?yàn)闊o(wú)論什么時(shí)候這個(gè)選擇都比引爆可以收益更多。這似乎可以用來(lái)解釋為什么影片中兩艘船上的乘客都放棄了引爆，選擇等待。 放棄引爆未必意味著死亡 但故事到這里卻并沒(méi)有結(jié)束。除了道德高尚，在道德 如果設(shè)道德的價(jià)值是 M，生存下來(lái)的價(jià)值是 S，小丑懲罰的概率為 Pc，另一艘船按下引爆器的概率是 P(dx)， x 指引爆的那艘船（ P(dx) 因不同的人群和其他一些復(fù)雜因素而各不相同）。用 U 表示收益，那么對(duì)每艘船來(lái)說(shuō)，放棄引爆的收益就是： 如果要兩艘船保持合作，那就要求上面兩個(gè)式子的值分別大于按下引爆器的收益（S - M）： 以船 A 為例，我們可以推出： 只有當(dāng)上式成立時(shí)， A 船上的乘客才會(huì)放棄引爆，選擇等待。而另一方面，如果一個(gè)群體完全無(wú)視道德，只要他們有一點(diǎn)點(diǎn)活下來(lái)的意愿，就會(huì)毫不猶豫的炸毀另一艘船。所以如果道德對(duì)于另一艘船上的乘客來(lái)說(shuō)根本不值錢(qián)，那么己方道德的成本就會(huì)高的難以承受。在本文的分析中，我們始終默認(rèn)道德在兩艘船上的不同群體中價(jià)值是相同的。但實(shí)際上一船是市民，另一船是重度罪犯，在兩艘船上 M 的值有可能并不相同。如此一來(lái)，問(wèn)題就會(huì)變得更加復(fù)雜。 除此之外，還有其他許多的影響博弈的因素。例如船上的炸彈存在一個(gè)技術(shù)故障的機(jī)會(huì)（也許船上有人有能力在一段時(shí)間內(nèi)把它拆除）。而小丑的話也并不值得相信，你如何能確定這樣一個(gè)劍走偏鋒的人會(huì)遵循正常的游戲規(guī)則？也許每個(gè)船上的引爆器只是指向自己這艘船，倘若將這個(gè)因素也考慮進(jìn)來(lái)，那“引爆”這個(gè)決策就還有一個(gè)隱藏成本。 回到最初的故事上來(lái)，通過(guò)上面的分析我們知道，這是一場(chǎng)復(fù)雜而精妙的博弈。無(wú)數(shù)隱藏的不確定因素在按與不按這兩個(gè)看似清晰的抉擇背后盤(pán)根錯(cuò)節(jié)，任意一個(gè)因素都可能改變結(jié)局。這場(chǎng)博弈挑戰(zhàn)了人們的道德觀，考驗(yàn)了人們對(duì)生命的態(tài)度。幸好還有蝙蝠俠，即便如此，面對(duì)這個(gè)故事，我們更想要的還是——永遠(yuǎn)沒(méi)有小丑。 via:嚴(yán)酷的魔王（果殼網(wǎng)） 每一次的分享，都是干貨的傳遞！ 有稿就來(lái)投：supermodeling@163.com 精彩好文推薦（點(diǎn)擊即可閱讀）： 你每一次對(duì)廣告的點(diǎn)擊，都是對(duì)我們的支持！